算法训练day50｜动态规划part11

123.买卖股票的最佳时机III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

类比买卖一次有持有和不持有两种状态

买卖两次有五种状态

1. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

1. dp数组以及下标含义

dp[len][5]

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

因为是持有的状态，不是说状态的改变在当天发生的，也可能是之前发生，这次维持这种状态

2. 递推公式

除了没有操作是直接维持原有状态

其他的都有两个选择，改变状态的操作在当天发生/维持前一天的当前状态

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2]);

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3. 数组初始化

第0天没有操作，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

其实题目问的是至多买两次，如果只有一天的情况，不作买卖（利润为0）就是最大利润，但是这种情况其实也就相当于，第两次买卖就在当天（不产生利润与亏损）

所以在返回最后结果时，可以直接返回dp[len-1][4]。最优结果不买卖相当于有两次时当天买卖，最有结果就买卖一次相当于第二次当天买卖了结果。

4. 遍历方向：由递推公式可知，递推公式的计算只需要用到dp[i-1][j] 的数据，从后往前遍历就好了

188.买卖股票的最佳时机IV

与上题的区别就是两次买卖，和k次买卖

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

最大的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}

遍历奇偶数的一种方法如上，可以每次+2

初始化

由上题同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

// 版本二: 二维 dp数组
class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        // [天数][股票状态]
        // 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
        
        // dp数组的初始化, 与版本一同理
        for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }
}