简单无向图计数
虽然但是，终于把图论的东西填了那么一点点
速速来记一个
首先，我们有一个作用于集合 Ω \Omega Ω上的群 G G G
那么对任意的 a ∈ Ω a\in\Omega a∈Ω，
集合 Ω a = { g ( a ) ; g ∈ G } \Omega_a=\{g(a);\quad g\in G\} Ωa={g(a);g∈G} 称为 Ω \Omega Ω在 G G G作用下的一个轨道
用小黄鸭也能听懂的说法，就是说轨道这个东西吧，在同一个轨道里面的任意两个元素（当然都属于 Ω \Omega Ω）都可以通过群 G G G中的变换互相得到
我们可以定义一种等价关系，就是说
两个元素 a , b a,b a,b 如果 存在 g ∈ G g\in G g∈G 使得 g ( a ) = b g(a)=b g(a)=b 那么 a ∼ b a\sim b a∼b
对称性很显然，因为G是群，群里面的元素都有逆元
那么你马上知道每个等价类都是一个轨道
另外 Ω \Omega Ω现在可以=轨道的并。轨道们不相交。
对于 g ∈ G g\in G g∈G，以及一个 a ∈ Ω a\in\Omega a∈Ω，如果 g ( a ) = a g(a)=a g(a)=a就说a是g的一个不动点
不动点里面有a的g构成 Ω \Omega Ω的一个子群，也就是稳定子群
Stab G ( a ) = { g ; g ∈ G , g ( a ) = a } \operatorname{Stab}_G(a)=\{g;\quad g\in G,g(a)=a\} StabG(a)={g;g∈G,g(a)=a}
来一点重要的事情
轨道公式 ∣ Ω a ∣ = [ G : Stab G ( a ) ] |\Omega_a|=[G:\operatorname{Stab}_G(a)] ∣Ωa∣=[G:StabG(a)]
只需要证明 { g ( a ) ; g ∈ G } \{g(a);\quad g\in G\} {g(a);g∈G}能够和 { g G a ; g ∈ G } \{gG_a;\quad g\in G\} {gGa;g∈G}元素一一对应
也就是说 ∣ G ∣ = ∣ Ω a ∣ ∣ Stab G ( a ) ∣ |G|=|\Omega_a||\operatorname{Stab}_G(a)| ∣G∣=∣Ωa∣∣StabG(a)∣
如果G比较复杂的话可以用这个来确定G的元素个数
Lagrange定理是说，有限群 G G G和它的子群 H ≤ G H\le G H≤G 有 ∣ G ∣ = ∣ H ∣ [ G : H ] |G|=|H|[G:H] ∣G∣=∣H∣[G:H]
很好记对吧，它的证明特别重要，
证明主要就是 H ≤ G H\le G H≤G的所有左陪集的集合构成 G G G的一个划分、
然后又有 ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ |aH|=|H| ∣aH∣=∣H∣，就得到了Lagrange定理，当然也可以用右陪集证
（左陪集的集合到右陪集的集合可以有一个双射）
就是陈述了关于陪集的这样一个简单事实
那我们能够大概对群的结构有点概念
然后呢Burnside引理是这样的
有限群 G G G作用在有限集 X X X上，那么 X X X 在 G G G 作用下的轨道数目就是
N = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G χ ( g ) N=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{g\in G}\chi(g) N=∣G∣1g∈G∑χ(g)
其中 χ ( g ) \chi(g) χ(g) 是 g ∈ G g\in G g∈G 在 X X X 上的不动点数目
然后我们来考虑这博客的标题
……无标号n点简单（就是无重边和自环）无向图 ( V , E ) (V,E) (V,E) ，现在考虑有多少种本质不同的这样的图。
我们先标号，标号完就可以直接给边搞一个二染色
我们考虑所有有标号简单无向图的集合 Ω \Omega Ω 就有 ∣ Ω ∣ = 2 ( n 2 ) |\Omega|=2^{\binom{n}{2}} ∣Ω∣=2(2n)
现在要对没标号的计数！
如果经过任意的对标号的置换，可以互相得到，就说是等价（在一个轨道内）
也就相当于我们是用n次对称群 S n S_n Sn 作用于 Ω \Omega Ω 上，求轨道数
不是二面体群哦。
n次对称群中， a 1 λ 1 a 2 λ 2 ⋯ a m λ m a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_m^{\lambda_m} a1λ1a2λ2⋯amλm型置换有 ∣ S n ∣ a 1 λ 1 a 2 λ 2 ⋯ a m λ m λ 1 ! λ 2 ! ⋯ λ m ! \dfrac{|S_n|}{a_1^{\lambda_1}a_2^{\lambda_2}\cdots a_m^{\lambda_m}\lambda_1!\lambda_2!\cdots\lambda_m!} a1λ1a2λ2⋯amλmλ1!λ2!⋯λm!∣Sn∣个
这个莎莎型置换的意思就是说它的标准轮换分解式长这个样子，不懂百度去
现在我们来做题
比如说一道题它说不定给你来个 n = 6 n=6 n=6
我现在就拿 2 1 4 1 2^14^1 2141型置换作为例子吧，拿一个 ( 1234 ) ( 56 ) (1234)(56) (1234)(56)代表
首先，(1234)环上的边得同色，5-6爱啥色啥色
（这里的颜色只有两种，就是指的这条边有还是没有！）
轮换之后，1234变成4123，56变成65
1-3连的啥边，2-4也就得是啥边；
现在考虑俩循环节之间的边。
1-5和3-5得分别跟2-6和4-6一样
2-6跟4-6又得分别跟3-5和1-5一样
1-6跟3-6得分别跟2-5和4-5一样
2-5和4-5又得分别跟3-6和1-6一样
综上所述
1-5和3-5和2-6和4-6同色
1-6和3-6和2-5和4-5同色
5-6爱啥色啥色
1-2-3-4-1这个环一个色
所以这个置换的不动点有2^4=16个
慢慢这么算下去
那这就很坐牢了，做做例题还行
轮换嘛，二面体群大家都很熟悉，总得有点规律吧
oi时间到
这感觉环不够大，再大点，来个 ( 123456 ) (123456) (123456)
这个时候环里面吧
135之间的连边应该跟246之间的连边情况一样
并且1-3-5-1和2-4-6-1两个环上的边也分别同色
14之间的连边应该跟25之间的连边和36之间的连边情况一样
为了优雅，12、23、34、45、56、61之间的连边情况一样我们也算进来
是不是距离整除6的点之间的边颜色一样？呵呵
我们考虑 ( 12345 ) (12345) (12345) 这个轮换
12345变成51234，嗯嗯实际上马上就知道距离相等的点的连边情况应该一样
比如1-3，2-4，3-5，4-1，5-2 都应该是同样的连边情况
那么那么对于一个长度为n的轮换里面距离为 1 , 2 , ⋯ , ⌊ n 2 ⌋ 1,2,\cdots,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor 1,2,⋯,⌊2n⌋的点
距离相同的点之间的边颜色都应该相同。
也就是说对于标准轮换分解，每一个长度为 k k k的轮换内都有 ⌊ k 2 ⌋ \lfloor\frac{k}{2}\rfloor ⌊2k⌋坨同色边
嗯嗯，这么多个等价类
暂时就知道不动点一共有 2 ( ∑ ⌊ k 2 ⌋ ) + ? 2^{(\sum\lfloor\frac{k}{2}\rfloor)+?} 2(∑⌊2k⌋)+?个
求和是对标准轮换分解里面的每个轮换求和！
然后我们再考虑问号，也就是两个轮换之间的连边，长度分别记为 a , b a,b a,b
那一共有 a b ab ab条边，
这是一个什么问题呢！我们能不能用一点更数学的语言！
先来定义一下边的等价。
现在问题已经缩小到俩轮换之间的边了，
不妨把一个标号成集合 { 0 , 1 , ⋯ , a − 1 } = A \{0,1,\cdots,a-1\}=A {0,1,⋯,a−1}=A，
另一个 { 0 , 1 , 2 , ⋯ , b − 1 } = B \{0,1,2,\cdots,b-1\}=B {0,1,2,⋯,b−1}=B
然后边表示为点对 ( x ‾ , y ‾ ) (\overline{x},\overline{y}) (x,y)，尽管跟gcd符号有点冲突不过不要紧的啦
上划线是为了方便，完整写出来应该是(x mod a，y mod b)
现在，我们来研究群 G ′ G' G′就是循环群 < g 1 >
里面的 g 1 g_1 g1就是把点对的两边分别按照对应的轮换搞一下
所以明显 g 1 l c m ( a , b ) = e g_1^{lcm(a,b)}=e g1lcm(a,b)=e（单位元）也就是说 ∣ G ′ ∣ = o ( g 1 ) = l c m ( a , b ) |G'|=o(g_1)=lcm(a,b) ∣G′∣=o(g1)=lcm(a,b)
如果一条边在k次轮换后变成另一条边，这两条边明显应该是颜色相同的
就有了等价关系：
如果 ∃ g ∈ G ′ \exists g\in G' ∃g∈G′（或者说有k使得 g = g 1 k g=g_1^k g=g1k）使得 g ( a ) = b g(a)=b g(a)=b则记 a ∼ b a\sim b a∼b
现在就是要求有多少个轨道
Ω ( x ‾ , y ‾ ) = { ( x + k m o d a , y + k m o d b ) ; k ∈ N } \Omega_{(\overline{x},\overline{y})}=\{(x+k\mod a,\quad y+k\mod b);\quad k\in\N\} Ω(x,y)={(x+kmoda,y+kmodb);k∈N}
大家对同余的性质一定都很熟悉吧！就算不熟悉也可以发现这些轨道都很纯良，它们的代表元的稳定子群里面都只有单位元，于是大小相等，均为 ∣ G ′ ∣ |G'| ∣G′∣ ……而且互不相交的轨道组成 Ω \Omega Ω的一个划分。
所以一共有 ∣ Ω ∣ ∣ G ′ ∣ = g c d ( a , b ) \dfrac{|\Omega|}{|G'|}=gcd(a,b) ∣G′∣∣Ω∣=gcd(a,b)个轨道！
也就是说又有这么多坨同色边！
所以不动点一共有 2 ( ∑ ⌊ k 2 ⌋ ) + ∑ ∑ g c d ( a , b ) 2^{(\sum\lfloor\frac{k}{2}\rfloor)+\sum\sum gcd(a,b)} 2(∑⌊2k⌋)+∑∑gcd(a,b)个
gcd前面的求和号当然是枚举标准轮换分解里面任意的两个轮换组成的集合
嗯，我都说了是集合了，顺序当然无所谓，别给算重复了
好的然后再优化一下细节我们就可以通过伟大的[HNOI2009]图的同构计数
哈哈，没想到吧！