【数据结构和算法】寻找数组的中心下标

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前言

一、题目描述

二、题解

2.1 前缀和的解题模板

2.1.1 最长递增子序列长度

2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素

2.1.3 最长公共子序列长度

2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素

2.2 方法一：前缀和

三、代码

3.2 方法一：前缀和

四、复杂度分析

4.2 方法一：前缀和

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前言

这是力扣的 724 题，难度为简单，解题方案有很多种，本文讲解我认为最奇妙的一种。

这是一道非常经典的前缀和问题，虽然看似简单，但它却能让你深入理解前缀和的特点。

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一、题目描述

给你一个整数数组 nums ，请计算数组的 中心下标 。

数组 中心下标 是数组的一个下标，其左侧所有元素相加的和等于右侧所有元素相加的和。

如果中心下标位于数组最左端，那么左侧数之和视为 0 ，因为在下标的左侧不存在元素。这一点对于中心下标位于数组最右端同样适用。

如果数组有多个中心下标，应该返回 最靠近左边 的那一个。如果数组不存在中心下标，返回 -1 。

示例 1：

输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
输出：3
解释：
中心下标是 3 。
左侧数之和 sum = nums[0] + nums[1] + nums[2] = 1 + 7 + 3 = 11 ，
右侧数之和 sum = nums[4] + nums[5] = 5 + 6 = 11 ，二者相等。

示例 2：

输入：nums = [1, 2, 3]
输出：-1
解释：
数组中不存在满足此条件的中心下标。

示例 3：

输入：nums = [2, 1, -1]
输出：0
解释：
中心下标是 0 。
左侧数之和 sum = 0 ，（下标 0 左侧不存在元素），
右侧数之和 sum = nums[1] + nums[2] = 1 + -1 = 0 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 104
• -1000 <= nums[i] <= 1000

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二、题解

2.1 前缀和的解题模板

前缀和算法是一种在处理数组或链表问题时常用的技巧，它可以有效地减少重复计算，提高算法的效率。下面是一些常见的使用前缀和算法的题目以及解题思路：

2.1.1 最长递增子序列长度

题目描述：给定一个无序数组，求最长递增子序列的长度。

解题思路：可以使用前缀和和单调栈来解决这个问题。首先，遍历数组，计算出前缀和。然后，使用单调栈记录当前递增子序列的起始位置。遍历数组时，如果当前元素大于前缀和，说明可以扩展当前递增子序列，将当前位置入栈。如果当前元素小于等于前缀和，说明当前递增子序列已经结束，弹出栈顶元素。最后，栈中剩余的元素即为最长递增子序列的起始位置，计算长度即可。

2.1.2 寻找数组中第 k 大的元素

题目描述：给定一个无序数组和一个整数k，找到数组中第k大的元素。

解题思路：可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。首先，计算出数组的前缀和。然后，使用快速选择算法在数组中找到第k小的元素。具体实现中，每次选择一个枢轴元素，将数组分成两部分，小于枢轴的元素和大于枢轴的元素。如果枢轴左边的元素个数小于k，则在左边的子数组中继续查找；如果枢轴左边的元素个数大于等于k，则在右边的子数组中继续查找。最后，当找到第k小的元素时，返回该元素即可。

2.1.3 最长公共子序列长度

题目描述：给定两个字符串，求最长公共子序列的长度。

解题思路：可以使用动态规划算法来解决这个问题。如果字符串长度分别为m和n，则可以定义一个二维数组dp[m+1][n+1]，其中dp[i][j]表示字符串s1的前i个字符和字符串s2的前j个字符的最长公共子序列长度。根据动态规划的思想，状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1])。如果s1[i-1]等于s2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则dp[i][j]取其他两种情况中的较大值。最终结果为dp[m][n]。

2.1.4 寻找数组中第 k 小的元素

题目描述：给定一个无序数组和一个整数k，找到数组中第k小的元素。

解题思路：可以使用前缀和和快速选择算法来解决这个问题。具体实现与寻找第k大元素类似，只不过最后返回的是第k小的元素而非第k大的元素。

2.2 方法一：前缀和

题目仅说明是整数数组，无其他已知条件，因此考虑直接遍历数组。

• 设索引 i 对应变量「左侧元素相加和 leftSum」和「右侧元素相加和 rightSum」。
• 遍历数组 nums ，每轮更新 leftSum 和 rightSum。
• 遍历中，遇到满足 leftSum == rightSum 时，说明当前索引为中心下标，返回即可。
• 若遍历完成，仍未找到「中心下标」，则返回 -1 。

初始化时，相当于索引 i=−1 ，此时 leftSum = 0 , rightSum = 所有元素的和 。

需要考虑大数越界问题。题目给定整数数组 nums ，并给定取值范围。

题目的范围在 int 类型的取值范围内，因此 sum_left 和 sum_right 使用 int 类型即可。

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三、代码

3.2 方法一：前缀和

Java版本：

class Solution {
    public int pivotIndex(int[] nums) {
        int leftSum = 0, rightSum = Arrays.stream(nums).sum();
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            rightSum -= nums[i];
            if (leftSum == rightSum) return i;
            leftSum += nums[i];

        }
        return -1;
    }
}

C++版本：

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector& nums) {
        int leftSum = 0, rightSum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            rightSum -= nums[i];
            if (leftSum == rightSum) return i;
            leftSum += nums[i];
        }
        return -1;
    }
};

Python版本：

class Solution:
    def pivotIndex(self, nums: List[int]) -> int:
        left_sum, right_sum = 0, sum(nums)
        for i in range(len(nums)):
            right_sum -= nums[i]
            if left_sum == right_sum:
                return i
            left_sum += nums[i]
        return -1

Go版本：

package main

func pivotIndex(nums []int) int {
    leftSum := 0
    rightSum := 0
    for _, v := range nums {
        rightSum += v
    }

    for i, v := range nums {
        rightSum -= v
        if leftSum == rightSum {
            return i
        }
        leftSum += v
    }

    return -1
}

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四、复杂度分析

4.2 方法一：前缀和

时间复杂度 O(N)： 其中 N 为数组 nums 长度。求和操作使用 O(N) 线性时间，遍历 nums 最差使用 O(N) 线性时间。
空间复杂度 O(1)： 变量  leftSum ,  rightSum 使用常数大小空间。

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