大数乘法

大数乘法
基本思想：
输入字符串，转成char数组，转成int数组。采用分治思想，每一位的相乘;

• 公式：AB*CD = AC (BC+AD) BD

=任意位数的整数相乘，最终都是可以转化为两位数相乘。但是，不同位的两位数乘的结果，最后应该如何拼接呢？这需要我们来找下更深层次的规律。分析一下四位数的乘法

             1  2  3  4 
          *  5  6  7  8 
 ------------------------ 
              9  8  7  2 
          8  6  3  8 
      7  4  0  4 
 6  1  7  0 
 ------------------------ 
 7  0  0  6  6  5  2 

结果看起来没什么特别的，如果按照我们分治的思想，转换为两位数相乘，之间能否有些关系呢？
1234分为 12（高位）和34（低位）；5678分为56（高位）和78（低位）
高位高位结果：1256=672
高位低位+低位高位：1278+3456=936+1094=2840
低位低位结果：3478=2652

最后，拼接。需要说明的是，刚才我们提到两位数分解成一位数相乘的规则：超过一位数，需要进位。同理（这里就不证明了），两位数乘以两位数，结果超过两位数，也要进位。
从低位开始：低两位：2652，26进位，低位保留52；中间两位，2840+26（低位进位）=2866,28进位，中位保留66；高位，672+28（进位）=700,7进位，高位保留00。再往上就没有了，现在可以拼接起来：最高位进位7，高两位00，中位66，低位52，最后结果：7006652。

规律

任意位数（例如N位整数相乘），都可以用这种思想实现：低位保留 N 位数字串，多余高位进位；高位要加上低位进位，如果超过 N 位，依然只保留 N 位，高位进位。（如果是M位整数乘以N位整数怎么办？高位补0，凑成一样位数的即可，不赘述。）

代码如下：

import java.util.Scanner;
import java.util.regex.Matcher;
import java.util.regex.Pattern;
 
public class  multipliers {
 
    // 规模只要在这个范围内可以直接计算（整型数值满足）
    private final static int SIZE = 4;
 
    // 其中，len为X、Y的长度最大值
    private static String bigIntMultiply(String X, String Y, int len) {
        String str = "";
 
        if (len <= SIZE) { // 少于4位数，可直接计算
            return "" + (Integer.parseInt(X) * Integer.parseInt(Y));
        }
 
        if (X.length() != Y.length()) { // 长度不同，调用formatNumber方法，补齐X、Y，使之长度相同
            X = formatNumber(X, len);
            Y = formatNumber(Y, len);
        }
 
        // 将X、Y分别对半分成两部分
        int len1 = len / 2;
        int len2 = len - len1;
        String A = X.substring(0, len1);
        String B = X.substring(len1);
        String C = Y.substring(0, len1);
        String D = Y.substring(len1);
 
        // 乘法法则，分块处理
        int lenM = Math.max(len1, len2);
        String AC = bigIntMultiply(A, C, len1);
        String AD = bigIntMultiply(A, D, lenM);
        String BC = bigIntMultiply(B, C, lenM);
        String BD = bigIntMultiply(B, D, len2);
 
        // 注意处理进位的方法，巧妙地运用了字符串的拼接方面
        // 【1】 处理BD，得到原位及进位
        String[] sBD = dealString(BD, len2);
        // 【2】 处理AD + BC的和
        String ADBC = add(AD, BC);
        // 【3】 加上BD的进位
        if (!"0".equals(sBD[1])) {
            ADBC = add(ADBC, sBD[1]);
        }
        // 【4】 得到ADBC的进位
        String[] sADBC = dealString(ADBC, lenM);
 
        // 【5】 AC加上ADBC的进位
        AC = add(AC, sADBC[1]);
        // 【6】 最终结果
        str = AC + sADBC[0] + sBD[0];
 
        return str;
    }
 
    // 两个数字串按位加
    private static String add(String ad, String bc) {
        // 返回的结果
        String str = "";
 
        // 两字符串长度要相同
        int lenM = Math.max(ad.length(), bc.length());
        ad = formatNumber(ad, lenM);
        bc = formatNumber(bc, lenM);
 
        // 按位加，进位存储在flag中
        int flag = 0;
        // 按序从后往前按位求和
        for (int i = lenM - 1; i >= 0; i--) {
            int t = flag + Integer.parseInt(ad.substring(i, i + 1))
                    + Integer.parseInt(bc.substring(i, i + 1));
            // 结果超过9，则进位当前位，保留个位数
            if (t > 9) {
                flag = 1;
                t = t - 10;
            } else {
                flag = 0;
            }
            // 拼接结果字符串
            str = "" + t + str;
        }
        if (flag != 0) {
            str = "" + flag + str;
        }
        return str;
    }
 
    // 处理数字串，分离出进位,String数组第一个为原位数字，第二个为进位
    private static String[] dealString(String ac, int lenn) {
        String[] str = { ac, "0" };
 
        if (lenn < ac.length()) {
            int t = ac.length() - lenn;
            str[0] = ac.substring(t);
            str[1] = ac.substring(0, t);
        } else {
            // 保证结果length与lenn一致，少于则高位补0
            String result = str[0];
            for (int i = result.length(); i < lenn; i++) {
                result = "0" + result;
            }
            str[0] = result;
        }
        return str;
    }
 
    // 格式化操作的数字字符串，高位补零
    private static String formatNumber(String x, int len) {
        while (len > x.length()) {
            x = "0" + x;
        }
        return x;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        String pat = "^[1-9]\\d*$"; // 正则表达式：不以0开头的数字串
        Pattern p = Pattern.compile(pat); // 将给定的正则表达式编译并赋予给Pattern类
 
        System.out.println("乘数A（不以0开头的正整数）：");
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        String A = sc.next();
        Matcher m = p.matcher(A);
 
        if (!m.matches()) {
            System.out.println("数字不合法！");
            return;
        }
 
        System.out.println("乘数B（不以0开头的正整数）：");
        String B = sc.next();
        m = p.matcher(B);
        if (!m.matches()) {
            System.out.println("数字不合法！");
            return;
        }
        // Math.max(A.length(), B.length())比较读入的字符串的长短
        System.out.println(A + " * " + B + " = "
                + bigIntMultiply(A, B, Math.max(A.length(), B.length())));
    }
}