二分类评估，从混淆矩阵说起

在《理解交叉验证》一文中，我们谈到了使用 AUC 来对比不同模型的好坏，那么 AUC 是什么？它是如何衡量一个模型的好坏的呢？除了 AUC 以外，还有其他评估手段吗？本文我们就来探讨下这几个问题。

混淆矩阵

要了解 AUC，我们需要从另外一个概念——混淆矩阵（Confusion Matrix）说起，混淆矩阵是一个 2 维方阵，它主要用于评估二分类问题（例如：预测患或未患心脏病、股票涨或跌等这种只有两类情况的问题）的好坏。你可能会问多分类问题怎么办？实际上，多分类问题依然可以转换为二分类问题进行处理。下图是一个用于评判是否患有心脏病的混淆矩阵：

纵向看混淆矩阵，它体现了真实情况下，患病和未患病的人数，上图中，真实患心脏病的人数为 True Positive + False Negative，未患心脏病的人数为 False Positive + True Negative；类似的，横向看混淆矩阵，它体现了模型预测出来患心脏病的人数为 True Positive + False Positive，而预测未患心脏病的人数为 False Negative + True Negative。

两个方向一起看，预测患病且实际也患病，我们称它为真阳性 (True Positive)，预测未患病且实际也未患病，被称为真阴性 (True Negative)，这两个区域是模型预测正确的部分；模型预测错误也分两种情况，假阳性 (False Positive) 表示预测患病，但实际却未患病，假阴性 (False Negative) 表示预测未患病，但实际却患了病的情况。

概念有点多，但并不难记，可以看到，这些名词都是围绕着预测来命名的——预测患病时被称为「True/False Positive」，预测未患病时被称为 「True/False Negative」。

上图中，模型预测正确的部分用绿色填充，它所占的比例又被称为准确率 (Accuracy)：

单靠准确率这一项，并不足以评估模型的好坏，例如下面这种情况，虽然准确率可以达到 80%，但在实际患病的人群中，该模型的预测成功率只有 50%，很明显它不是一个好模型。

	患心脏病	未患心脏病
患心脏病	10	10
未患心脏病	10	70

Sensitivity 和 Specificity

所以，我们需要引入更多的衡量指标，Sensitivity (或 Recall) 表示实际患者中，预测患病成功的概率，同时 Sensitivity 这个词也有"过敏"的意思，和患病对应，这样关联起来比较好记：

既然有衡量患病（正样例）的指标，那肯定也有衡量未患病（负样例）的指标，Specificity 就是用来表示实际未患病的人群中，预测未患病成功的概率，即

Specificity 这个词有"免疫"的意思，能和未患病相关联，所以也很好记。

这两个指标的出现，能更好的帮你比较模型间的差异，并在其中做出取舍。例如当两个模型的 Accuracy 相近时，如果你更看重于预测患病的效果，你应该选 Sensitivity 值较高的；相反，如果你更看重于预测未患病的效果，你就应该选择 Specificity 较高的。

ROC 曲线、AUC 和 F1 Score

更进一步，我们还可以通过将这些指标图形化，以获得更直观的评估结果，ROC (Receiver Operating Characteristic) 曲线就是其中常用的一种。

我们知道，分类模型（例如"逻辑回归”）的结果是一个大于 0 且小于 1 的概率，此时我们还需要一个阈值，才能界定是否患病，通常我们把阈值设为 0.5，这样当结果大于 0.5 时可判定为患病，否则判定为未患病。

而阈值可以取 0 到 1 之间的任意一个值，对每一个阈值，都有一个混淆矩阵与之对应，有了混淆矩阵，我们就可以求出一对 Sensitivity 和 Specificity，通过这两个数，我们就可以在一个以 1-Specificity 为横坐标，Sensitivity 为纵坐标的坐标系上画一个点，把所有可能的阈值所产出的点连起来，就是 ROC 曲线。

下面我们来看一个具体的例子，假设我们对老鼠做研究，希望通过老鼠的体重来预测其患心脏病的概率，我们采用逻辑回归算法来建模，下图是预测结果，图中有 10 个老鼠样本点，其中红色点代表实际健康的老鼠，蓝色点代表实际患病的老鼠，这些点用一条逻辑回归曲线拟合，图中还有一条 P=0.5 的直线用来表示阈值为 0.5，可以看出，高于 P=0.5 的 5 只老鼠被预测为患病，而其他 5 只老鼠被预测为健康，预测成功率（Accuracy）为 80%：

下面我们通过以上数据，来画一条 ROC 曲线。首先取阈值为 1，此时所有的老鼠都被预测为未患病，根据样本真实患病情况，我们可以得到如下混淆矩阵

根据上述混淆矩阵，我们就可以算出一组 Sensitivity 和 Specificity 的值。接着我们不断调整阈值，以获得所有的 Sensitivity 和 Specificity 对，因为这里我们的样本点较少，所以让阈值根据样本点来采样即可，依然用横线表示阈值，则所有阈值的采样情况如下：

我们把这些阈值对应的混淆矩阵都列出来：

然后，计算这些混淆矩阵对应的 Sensitivity 和 1-Specificity：

Threshold	Sensitivity	1- Specificity
1	0	0
0.99	0.2	0
0.97	0.4	0
0.94	0.4	0.2
0.90	0.6	0.2
0.71	0.8	0.2
0.09	0.8	0.4
0.043	1.0	0.4
0.0061	1.0	0.6
0.0003	1.0	0.8
0	1.0	1.0

根据该表格，以 1-Specificity 为横轴，Sensitivity 为纵轴作图，通常，在画 ROC 曲线时，我们把 1-Specificity 对应的坐标轴记为 FPR (False Positive Rate)，把 Sensitivity 对应的坐标轴记为 TPR (True Positive Rate)，如下：

ROC 曲线有以下特点：

1. 从 (0, 0) 点到 (1,1) 点的对角线上的每个点，意味着在患者中，预测患病成功的概率（TPR），与未患病者中，预测未患病失败的概率（FPR）相等，对于模型来说，TPR 越大越好，FPR 越小越好，所以我们需要尽可能的使 ROC 曲线沿左上角方向远离该对角线。
2. ROC 曲线还可以帮助我们选择合适的阈值，即 TPR 相同的情况下，ROC 上的点越靠左，效果越好，因为越靠左，意味着 FPR 越小。

根据 ROC 曲线的第 1 个特点：「曲线越靠近左上角，模型的效果越好」，意味着一个更好模型，其曲线下方的面积更大，我们把 ROC 曲线下方的面积称为 AUC (Area Under Curve)，有了这个概念后，只需一个数值就可以衡量模型的好坏了，上面示例模型的 AUC 如下：

通常情况下我们都使用 AUC 来评估模型，既然是”通常”，那肯定就有例外：当患病率 (或正样本占比) 非常小时，Ture Negative 就会非常大，这个值就会使影响 FPR，使 FPR 较小，为了避免这种影响，我们可以将 FPR 用另一个指标代替：Precision

Precision 的含义是预测患病的样本中，实际也患病的比例；这样，将 Precision 和 Sensitivity 结合起来，会让我们更专注于患病 (正样本) 的预测效果，而机器学习中的另一个效果指标：F1 Score，就是专门负责这件事儿的

上面的公式中，Recall 等价于 Sensitivity，和 AUC 一样，两个模型互相比较，F1 Score 越大者，预测效果越好，而且 F1 Score 能更好的衡量正样本的预测效果。

总结

本文通过一个医学例子——是否患心脏病——来讲述什么是混淆矩阵、ROC 曲线、AUC 及 F1 Score，其中，我们还一起学习了 ROC 曲线是如何画出来的，最后，我们还谈到了 AUC 和 F1 Score 以及它们之间细微的差别。

需要注意的是，二分类评估并不限于对患病及未患病这两种情况的分类，考虑到通用性，你完全可以将本文中的患心脏病替换为正样本、把未患心脏病替换为负样本。