【线性代数与矩阵论】Jordan型矩阵

Jordan型矩阵

2023年11月3日
#algebra

---

---

1. 代数重数与几何重数

在对向量做线性变换时，向量空间的某个向量的方向不发生改变，而只是在其方向上进行拉伸，则该向量是线性变换的特征向量，其在变换中被拉伸的倍数为该特征向量的特征值（特征根）。
矩阵的相同特征值有其对应的代数重数与几何重数，相同特征值的代数重数就是相同特征值的个数，几何重数就是相同特征值所对应特征向量的个数。显然，特征向量的拉伸量可能相同，即代数重数大于等于几何重数，也就是多个相同特征值可能对应一个特征向量。也可以说，对同一个特征值，可能有多个特征向量，而该特征值的代数重数大于等于特征向量的个数。
如果每个相同的特征值都对应不同的特征向量，则代数重数等于几何重数。
对于 $n\times n$ 矩阵 $A$，有 $l$ 个特征根，$l<n$ 且第 $i$ 个特征根 ${\lambda }_i$ 的代数重数为 ${\sigma }_i$ 、几何重数为 ${\alpha }_i$
$$\det (\lambda I_n-A)=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{{\sigma }_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{{\sigma }_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_l{)}^{{\sigma }_l}$$
第$i$个特征根的几何重数计算如下：
$${\alpha }_i=n-\text{rank}({\lambda }_i{I}_n-A)$$
几何重数（零化度）对应着有几个线性无关的特征向量拥有当前的特征值。
在Jordan标准型中，几何重数对应着当前特征值拥有几个Jordan快。
若代数重数等于几何重数，该特征值为 半单的。
若代数重数大于几何重数，该特征值为 亏损的。
显然，代数重数为 $1$ 的特征值一定时半单的；不同特征值对应的特征向量是线性无关的。每个特征值都是半单的矩阵（有完备的特征向量系）等价于可对角化。
存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵，等价于不可对角化。

---

2. Jordan块与Jordan标准型

举例，对代数重数为 ${\sigma }_i=5$ 、几何重数为 ${\alpha }_i=2$ 的特征根 ${\lambda }_i$，有两个Jordan快，设存在一个三阶和一个两阶的Jordan块：
J i = [ λ i 1 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i 0 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i ] = diag ( J 3 ( λ i ) , J 2 ( λ i ) ) J_{i}= \begin{bmatrix} \lambda_i&1&0&0&0\\ 0&\lambda_i&1&0&0\\ 0&0&\lambda_i&0&0\\ 0&0&0&\lambda_i&1\\ 0&0&0&0&\lambda_i \end{bmatrix}=\text{diag}(J_3(\lambda_i),J_2(\lambda_i)) Ji​= ​λi​0000​1λi​000​01λi​00​000λi​0​0001λi​​ ​=diag(J3​(λi​),J2​(λi​))
Jordan块的顺序可以交换。知道特征值的代数重数和几何重数，还需要知道特征值对应的每阶Jordan块的个数，才能写出Jordan标准型。
可以通过幂零矩阵确定 ${\lambda }_i$ 对应的两个Jordan快各有几阶，如其中 $j$ 阶Jordan块的个数为：
$$r_{j+1}+r_{j-1}-2r_j$$
$$r_j=\text{rank}({\lambda }_{i}I-A{)}^j$$
$$r_0=\text{rank}({\lambda }_{i}I-A{)}^0=n$$
矩阵的Jordan标准型
$$J=\text{diag}(J_{n_1},J_{n_2},\cdots ,J_{n_k}),n_1+n_2+\cdots +n_k=n$$
Jordan块的上次对角元值都为 $1$
J n i = [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] J_{n_i}= \begin{bmatrix} \lambda_i&1&&&\\ &\lambda_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda_i&1\\&&&&\lambda_i \end{bmatrix} Jni​​= ​λi​​1λi​​1⋱​⋱λi​​1λi​​ ​
在这种定义下，不同Jordan块可能对应相同特征值。求Jordan标准型步骤如下：

1. 算特征值
2. 算代数重数、几何重数
3. 算特征值对应阶数Jordan块的个数

[!example]-
求矩阵 $A$ 的Jordan标准型
A = [ 2 0 − 1 0 − 1 1 0 − 1 0 0 2 0 1 1 1 3 ] A= \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} A= ​2−101​0101​−1021​0−103​ ​
解：
$$\det (\lambda I-A)=(\lambda -2{)}^4$$
$${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=2,4-\text{rank}({\lambda }_{1}I-A)=2$$
$2$ 特征值的代数重数是 $4$ ，几何重数是 $2$ ，有两个Jordan块，可能是一个三阶和一个一阶的，也可能是两个二阶的。
$$\begin{array}{rl}{r}_0=& 4\\ & \\ r_1=& \text{rank}({\lambda }_{1}I-A)=2\\ & \\ r_2=& \text{rank}({\lambda }_{1}I-A{)}^2=0\\ & \\ r_3=& \text{rank}({\lambda }_{1}I-A{)}^3=0\\ & \end{array}$$
$2$ 特征值对应的一阶Jordan块个数
$$r_2+r_0-2r_1=0$$
$2$ 特征值对应的二阶Jordan块个数
$$r_3+r_1-2r_2=2$$
所以有两个二阶Jordan块，Jordan标准型为
J = [ 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 ] J= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} J= ​2000​1200​0020​0012​ ​

Jordan块减去特征值单位阵拥有幂零的特性：
$$(J_{n_i}-{\lambda }_i{I}_{n_i}{)}^{n_i}=0$$

2.1 最小多项式与Jordan标准型

由于一个特征值可能对应多个Jordan块，我们选择一个特征值的最大Jordan块的阶数，做为最小多项式中该特征值对应因子的幂次，得到最小多项式。例如
A = [ λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 ] A= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 & 0&0 \\ 0 & \lambda_1 & 1 & 0&0 \\ 0 &0 & \lambda_1 & 0&0\\ 0 & 0& 0 & \lambda_1&0\\0 & 0& 0& 0& \lambda2 \end{bmatrix} A= ​λ1​0000​1λ1​000​01λ1​00​000λ1​0​0000λ2​ ​
特征多项式为
$$\Delta (\lambda )=\det (\lambda I-A)=(\lambda -{\lambda }_1{)}^4(\lambda -{\lambda }_2)$$
最小多项式为
$$\psi (\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^3(\lambda -{\lambda }_2)$$
所有相似矩阵都有相同的最小多项式。

2.2 两类重要矩阵

一类是每个特征值代数重数与几何重数相等的矩阵，又称非退化矩阵或简单矩阵、可对角化矩阵，其Jordan标准型是对角阵。
另一类是每个特征值的几何重数都为 $1$ 的矩阵，也就是一个特征值对应一个Jordan块，各Jordan块对应的特征值互异，又称循环矩阵。
显然，循环矩阵的特征多项式与最小多项式相同。

---

3. 矩阵的Jordan分解

对 $n$ 阶方阵 $A$，存在 $n$ 阶可逆矩阵 $T$，使得
$$A=TJ{T}^{-1}$$
为矩阵Jordan分解，$J$ 为矩阵的Jordan标准型，若不计Jordan块的次序，则Jordan标准型唯一。
对变换矩阵，可以写为矩阵的集合 $T=(T_1,T_2,\cdots ,T_k)$，$T_i$ 为 $n\times n_i$ 阶矩阵。
A ( T 1 , T 2 , ⋯   , T k ) = ( T 1 , T 2 , ⋯   , T k ) [ J n 1 ⋱ J n k ] A(T_1,T_2,\cdots,T_k)=(T_1,T_2,\cdots,T_k) \begin{bmatrix}J_{n_1}&&\\&\ddots\\&&J_{n_k}\end{bmatrix} A(T1​,T2​,⋯,Tk​)=(T1​,T2​,⋯,Tk​) ​Jn1​​​⋱​Jnk​​​ ​
A T i = T i J n i = ( t 1 i , t 2 i , ⋯   , t n i i ) [ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] AT_i=T_iJ_{n_i}=(t_1^i,t_2^i,\cdots,t_{n_i}^i) \begin{bmatrix} \lambda_i&1&&&\\ &\lambda_i&1&&\\ &&\ddots&\ddots&\\ &&&\lambda_i&1\\&&&&\lambda_i \end{bmatrix} ATi​=Ti​Jni​​=(t1i​,t2i​,⋯,tni​i​) ​λi​​1λi​​1⋱​⋱λi​​1λi​​ ​
所以
$$\{\begin{array}{l}A{t}_1^i={\lambda }_i{t}_1^i\\ A{t}_2^i={\lambda }_i{t}_2^i+t_1^i\\ ⋮\\ A{t}_{n_i}^i={\lambda }_i{t}_{n_i}^i+t_{n_i-1}^i\end{array}$$
$$(A-{\lambda }_i{I}_n)t_1^i=0$$
$$(A-{\lambda }_i{I}_n)t_j^i=t_{j-1}^i,j=2,3\cdots ,n_i$$
$t_1^i,t_2^i,\cdots ,t_{n_i}^i$ 构成一条关于${\lambda }_i$的长度为$n_i$的Jordan链。$t_1^i$ 是链首，是 $A$ 关于 ${\lambda }_i$ 的一个特征向量。
链首满足是特征向量，且方程组可解的要求。所以把 ${\lambda }_i$ 对应的所有线性无关的特征向量算出来，做线性组合，作为链首。变换矩阵 $T$ 的求解步骤如下

1. 求Jordan标准型
2. 算每个Jordan块对应的Jordan链
   若Jordan块阶数为1，直接计算特征向量
   若阶数大于1，先计算特征向量，利用特征向量的线性组合得到链首（同一特征值特征向量非零线性组合仍是特征向量）

[!example]-
$A$ 的Jordan标准型
A = [ 3 0 8 3 − 1 6 − 2 0 − 5 ]    ,    J = [ − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 − 1 ] A= \begin{bmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} A= ​33−2​0−10​86−5​ ​,J= ​−100​0−10​01−1​ ​
求出 ${\lambda }_1$ 对应的线性无关的特征向量
$$x_1=(2,0,-1{)}^{\mathrm{T}},x_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$$
对应的变换矩阵为 $x_1$ 和 $x_2$ 的线性组合，我们选取 $x_1$。对于阶数为 $2$ 的Jordan块，构造 $y=k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 使得 $(A-{\lambda }_{1}I)Z=y$ 可解，即
$$\text{rank}(A-{\lambda }_{1}I)=\text{rank}(A-{\lambda }_{1}I|y)$$
( A − λ 1 I   ∣   y ) = [ 4 0 8 2 k 1 3 0 6 k 2 − 2 0 − 4 − k 1 ] → [ 4 0 8 2 k 1 0 0 0 k 2 − 3 k 1 / 2 0 0 0 0 ] (A- \lambda_1I\,|\,y) = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 8 & 2k_1 \\ 3 & 0 & 6& k_2 \\ -2 & 0 & -4 &-k_1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 4 & 0 & 8 & 2k_1 \\ 0 & 0 & 0& k_2-3k_1/2 \\ 0 & 0 &0 &0 \end{bmatrix} (A−λ1​I∣y)= ​43−2​000​86−4​2k1​k2​−k1​​ ​→ ​400​000​800​2k1​k2​−3k1​/20​ ​
需要 $2k_2-3k_1=0$ ，取 $k_1=2,k_2=3,y=(4,3,-2{)}^{\mathrm{T}}$， 解出 $z=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$，鼓变换矩阵为
T = [ 2 4 1 0 3 0 − 1 − 2 0 ] T= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \end{bmatrix} T= ​20−1​43−2​100​ ​

3.1 Jordan分解的应用

Jordan分解用于计算初等函数在某个矩阵处的值，最简单的情形是计算多项式函数（高次多项式），当然也可以用Cayley-Hamilton定理。

[!example]-
设矩阵
A = [ − 1 0 1 1 2 0 − 4 0 3 ] A= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 3 \end{bmatrix} A= ​−11−4​020​103​ ​
求 $A^{2018}$。
解：
T − 1 A T = J = [ 1 1 0 0 1 0 0 0 2 ] → A 2018 = T J 2018 T − 1 \begin{align*} T^{-1}AT=J= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \end{align*}\to A^{2018}=TJ^{2018}T^{-1} T−1AT=J= ​100​110​002​ ​​→A2018=TJ2018T−1
A 2018 = [ 1 0 0 − 1 − 1 1 2 1 0 ] [ 1 2018 0 0 1 0 0 0 2 2018 ] [ 1 0 0 − 2 0 1 − 1 1 1 ] = [ − 4035 0 2018 4037 − 2 2018 2 2018 2 2018 − 2019 − 8072 0 4037 ] \begin{align*} A^{2018}=& \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2018 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{2018} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \\=& \begin{bmatrix} -4035 & 0 & 2018 \\ 4037-2^{2018} & 2^{2018} & 2^{2018}-2019 \\ -8072 & 0 & 4037 \end{bmatrix} \end{align*} A2018==​ ​1−12​0−11​010​ ​ ​100​201810​0022018​ ​ ​1−2−1​001​011​ ​ ​−40354037−22018−8072​0220180​201822018−20194037​ ​​

Jordan分解还可以用于求解一阶线性常系数微分方程组。

[! example]-
求解
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_1=3x_1+x_2-3\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_2=-2x_2+2x_3\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{x}_3=-x_1+x_2+3x_3\end{array}$$
解：令 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$ ，则原方程组化为
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=Ax$$
令 $x=Ty$，则
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=T^{-1}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=T^{-1}Ax=T^{-1}ATy=Jy$$
A = [ 3 1 − 1 − 2 0 2 − 1 − 1 3 ]    ,    J = [ 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ] A= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \,\,,\,\, J= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} A= ​3−2−1​10−1​−123​ ​,J= ​200​020​012​ ​
∴ J y = [ 2 y 1 2 y 2 + y 3 2 y 3 ] → y 1 ′ = 2 y 1    ,    y 2 ′ = 2 y 2 + y 3    ,    y 3 ′ = 2 y 3 \therefore Jy= \begin{bmatrix} 2y_1\\ 2y_2+y_3\\ 2y_3 \end{bmatrix}\to y_1'=2y_1 \,\,,\,\, y_2'=2y_2+y_3 \,\,,\,\, y_3'=2y_3 ∴Jy= ​2y1​2y2​+y3​2y3​​ ​→y1′​=2y1​,y2′​=2y2​+y3​,y3′​=2y3​
$y$ 第一第三个分量的一般解为
$$y_1(t)=c_1{e}^{2t},y_3(t)=c_3{e}^{2t}$$
代入第二个分量求解得
$$y_2(t)=(c_2+c_{3}t)e^{2t}$$
x = T y = [ − e 2 t ( c 1 + c 2 + c 3 + c 3 t ) e 2 t ( c 1 + 2 c 2 + 2 c 3 t ) e 2 t ( c 2 + c 3 t ) ]    ,    ∀ c 1 , c 2 , c 3 ∈ C x=Ty= \begin{bmatrix} -e^{2t}(c_1+c_2+c_3+c_3t)\\ e^{2t}(c_1+2c_2+2c_3t)\\ e^{2t}(c_2+c_3t) \end{bmatrix} \,\,,\,\, \forall c_1,c_2,c_3\in \mathbb C x=Ty= ​−e2t(c1​+c2​+c3​+c3​t)e2t(c1​+2c2​+2c3​t)e2t(c2​+c3​t)​ ​,∀c1​,c2​,c3​∈C

---

下链

Jordan块、Jordan标准型及矩阵的Jordan分解
矩阵论 武汉理工大学 （亲测最好的矩阵论视频）

---