Euler 积分

Beta 函数

形如

的含参变量积分称为 Beta 函数，或 第一类 Euler 积分。

Beta 函数 的定义域为

性质

1 连续性

在 上连续.

2 对称性

3 递推公式

可由对称性与递推公式得到，
当 时，有

其他表示

1

作变量代换 ，得到

易知

2

作变量代换 ，得到

对后一个积分作变量代换 ，得到

于是

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Gamma 函数

形如

的含参变量积分称为 Gamma 函数 或 第二类 Euler 积分.

的定义域为

性质

1 连续性与可导性

在 上连续且任意阶可导.

2 递推公式

满足

特别地，当 为整数时，易知

3 其他表示

1

作变量替换 ，得到

容易得到

2

作变量代换 ，得到

4 定义域的延拓

由于等式

的右边在 上有定义，则可以用上式等一左边函数 函数在 上的值。同样的根据在 上定义的值，定义 在 上的值，不断如此，则可以把 的定义域延拓到

上。

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定理一

证明：

由于

取 ，利用化反常重积分为累次积分的方法得到

作极坐标变换 ，即得

Legendre 公式

余元公式

Stirling 公式

Gamma 函数有如下的渐进估计：

特别地，当 为正整数时，