学习笔记：图的拓扑排序和关键路径

图的拓扑排序

假设以有向图表示一个工程的施工图或程序的数据流图，每个顶点代表一个活动，弧表示活动i必须先于活动j进行，称为AOV-网(Activity On Vertex)

图中不允许出现回路。

• 检查有向图中是否存在回路的方法之一，时对有向图进行拓扑排序。
• 还可以使用DFS。

何谓拓扑排序？

对有向图进行如下操作：

按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意次序关系，由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列。显然对于有回路的有向图得不到拓扑有序序列。

可求得拓扑有序序列：

A B C D 或 A C B D

如何进行拓扑排序？

1. 从有向图选取一个没有前驱的顶点，输出之；
2. 从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；

重复上述两步，直至空图，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

​

拓扑排序的算法实现：

没有前驱的顶点==入度为零的顶点

删除顶点以及它的出弧==弧头顶点的入度-1

各顶点入度的函数：

void FindID(AdjListb G,int indegree[MAX_VERTEX_NUM])
{
	int i;
    ArcNode *p;
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
        indegree[i]=0;
    for(i=0;i<G.vexnum;i++){
        p=G.vertexes[i].firstarc;
        while(p!=NULL){
            indegree[p->adjvex]++;
            p=p->nextarc;
        }
    }
}

将入度为0的结点入队

算法实现：

int TopoSort(AdjList G)
{
	Queue Q;
	int indegree[MAX_VERTEX_NUM];
	int i,count,k;
	ArcNode *p;
	FindID(G,indegree);
	InitStack(S);
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
		if(indegree[i]==0)
			EnterQueue(Q,i);
	count=0;
	while(!StackEmpty(S))
	{
		DeleteQueue(Q,i);
		printf("%c",G.vertex[i].data);
		count++;
		p=G.vertexes[i].firstarc;
		while(p!=NULL)
		{
			k=p->adjvex;
			indegree[k]--;
			if(indegree[k]=0)
				EnterQueue(S,k);
			p=p->nextarc;
		}
	}
	if(count<G.vexnum)
		return Error;
	else
		return OK;
}

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图的关键路径

AOE网是指在有向网中，如果用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动持续的时间，则称这样的有向网为弧表示活动的网。

对仅有一个开始点和一个完成点的工程，可用AOE-网来表示，它可用来估算工程的完成时间。

• 图中仅有一个入度为0的顶点称为源点，表示工程的开始；同时，也仅有一个出度为0的顶点称为汇点，表示工程的结束。

• 只有在进入某一顶点的各有向边所代表的活动均已完成，该顶点所代表的事件才能发生。

• 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点发出的所有有向边所代表的活动才能开始。

• 整个工程完成的时间为：

  从有向图的源点到汇点的最长路径，即关键路径。

• 关键活动持续时间的总和(关键路径的长度) 就是完成整个工程的最短工期。

• 如何求关键活动呢？

相关概念： ve(j)：v是顶点，即事件，e是early，即最早，j是顶点vj

ve(j)=从源点到顶点j的最长路径长度。即事件vj的最早发生时间。

ve(源点)=0；

ve(j)=Max{ve(k)+dut()}

ve(j)的值可从源点开始按拓扑顺序向汇点递推

相关概念：vl(k)：v是顶点，即事件，l是late，即最迟，k是顶点vk

vl(k)=从顶点k到汇点的最短路径长度。即事件vj的最迟发生时间。

vl(汇点)=ve(汇点)；

vl(k)=Min{vl(j)-dut()}

vl(j)的值可从汇点开始按逆拓扑顺序向源点递推。

活动的最早开始时间：

ee(i)=ve(j)

即：假设第i条 弧 为 ,则ee(i)为第i项活动(弧)的最早开始时间

活动的最晚开始时间：

el(i)=vl(k)-dut()

即：el(i)为第i项活动(弧)的最迟开始时间

还是上面的图：

关键活动就是ee(ai)=el(aj)的活动。

关键路径的求解步骤：

1. 按拓扑顺序求出每个事件的最早发生时间；
2. 按逆拓扑序列求出每个事件的最迟发生时间；
3. 计算每个活动的最早开始时间和最晚发生时间；
4. 找出关键活动，即ee(ai)=el(ai)的活动。

改造拓扑排序算法：

1. 求出各顶点的入度，并将入度为0的顶点入队；
2. 将各顶点的最早发生时间ve(i)初始化为0；
3. 只要队列不空，重复以下步骤
   • ​ 将队头顶点j出队，同时压入栈T（逆拓扑序列）
   • ​ 将队头j的每一个邻接点k的入度减1，如果顶点k的入度减为0，则将顶点k入队，
   • ​ 再根据顶点j的最早发生时间ve(j)和弧的权值，更新顶点k的最早发生时间ve(k)。

关键路径算法步骤：

1. 调用修改后的拓扑排序算法，求出每个事件的最早发生时间和逆拓扑序列栈T；
2. 将各顶点的vl(i)初始化为汇点的最早发生时间；
3. 只要栈不空，重复以下步骤：
   • 将栈顶顶点j出队；
   • 将栈顶j的每一个邻接点k,根据顶点k的vl(k)和弧的权值，更新顶点j的最晚发生时间vl(j)。
   • 扫描每一条弧计算其ee(i)和el(i),当ee(i)==el(i)输出该条弧。

具体代码有点难，暂时不做实现。

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