数模学习day04-TOPSIS法
TOPSIS法的全称可以翻译为逼近理想解排序法，国内常常称为优劣解距离法
此方法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距。
1.层次分析法的局限性
其实这个在层次分析法的文章中已经提到过了，但是这里为了更加清晰的对比出来还是可以再提一嘴。
第一个大家都知道，但是如果是第二个的话，大家也知道层次分析法是让“专家”来填，是一个主观的行为是吧，如果是给出了具体的数据的话，就不需要使用层次分析法了。
2.例子引入
（1）基础问题
如何评分呢，将排名的分反过来即可
但是这样的话有一个BUG，只要排名不变，分数随意修改都可以，这是一个问题
那么就有一个全新的思路
可以将他们的分数纳入评分计算，这里采用归一化评分
但是这里就会提出一个问题了，为什么这里是采用的卷面最高分和最低分，为什么不用100分呢？
这样就会使相关性更强啊。
主要有三点的考虑：
（1）比较的对象一般要远大于两个（例如比较一个小组的成绩）
（2）比较的指标一般也不知有一个（例如，绩点，综测，竞赛得分）
（3）有很多的指标并不存在理论上的最大值和最小值（例如GDP增速）
构造计算评分的公式： 
（2）拓展问题
这是两个数据期待相反的指标，因此可以将所有的指标都转化为极大型称为指标正向化（最常用）
如果用到了这个方法，上面这句话写到论文中
极小型指标转换为及大型指标的公式
max - x
现在有一个新的问题了，这里虽然两个都已经是极大型了，但是如果直接相加起来除，还是有问题。什么问题，比如我又100万，你有一块钱，我是不是可以认为你没有钱。这是一个夸张的例子，也就是说，这里的成绩和正向化后的争吵次数，差值太大了，也就是量纲不同，因此我们需要对经过正向化的矩阵进行标准化处理
那么如何进行标准化处理呢：
标准化的计算公式
计算得分
类比只有一个指标计算得分
回到题目计算得分：
3.TOPSIS正式登场
（1）四种指标概览
（2）TOPSIS第一步：将原始矩阵正向化
极小型==>极大型
还是推荐直接使用第一种，因为没有限定条件
中间型==>极大型
区间型==>极大型
（2）TOPSIS第二步：正向化矩阵标准化
目的：为了消除不同指标量纲的影响
（3）TOPSIS第三步：计算得分并归一化
4.摩拳擦掌练习练习
1.题目
刚好每一个指标都有了
含氧量：极大型
PH值：中间型
细菌总个数：极小型
植物性营养物量：区间型
所以后面的几种都要转换为极大型
2.导入数据
新建一个原始数据
到Excel表格中粘贴
双击X打开
将表格中的数据粘贴进去
右键，点击粘贴Excel表格的数据，或者快捷键 Ctrl+Shift+V
另存为.mat文件
右键X，另存为当前的工作目录
加载文件load
3.topsis主文件
%% 第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Matlab中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍
%% 第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);
if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
% A = magic(5) % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA = 8 3 2 1
% index = 4 3 1 2
4.Positivization文件
% function [输出变量] = 函数名称(输入变量）
% 函数的中间部分都是函数体
% 函数的最后要用end结尾
% 输出变量和输入变量可以有多个，用逗号隔开
% function [a,b,c]=test(d,e,f)
% a=d+e;
% b=e+f;
% c=f+d;
% end
% 自定义的函数要单独放在一个m文件中，不可以直接放在主函数里面（和其他大多数语言不同）
function [posit_x] = Positivization(x,type,i)
% 输入变量有三个：
% x：需要正向化处理的指标对应的原始列向量
% type： 指标的类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% i: 正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 输出变量posit_x表示：正向化后的列向量
if type == 1 %极小型
disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
posit_x = Min2Max(x); %调用Min2Max函数来正向化
disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 2 %中间型
disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
best = input('请输入最佳的那一个值： ');
posit_x = Mid2Max(x,best);
disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
elseif type == 3 %区间型
disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
a = input('请输入区间的下界： ');
b = input('请输入区间的上界： ');
posit_x = Inter2Max(x,a,b);
disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
else
disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
end
end
5.Inter2Max文件
function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
r_x = size(x,1); % row of x
M = max([a-min(x),max(x)-b]);
posit_x = zeros(r_x,1); %zeros函数用法: zeros(3) zeros(3,1) ones(3)
% 初始化posit_x全为0 初始化的目的是节省处理时间
for i = 1: r_x
if x(i) < a
posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
elseif x(i) > b
posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
else
posit_x(i) = 1;
end
end
end
6.Mid2Max文件
function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
M = max(abs(x-best));
posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end
7.Min2Max文件
function [posit_x] = Min2Max(x)
posit_x = max(x) - x;
%posit_x = 1 ./ x; %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end
答案
正向化后的矩阵 X =
4.6900 0.7172 3.0000 1.0000
2.0300 0.4069 35.0000 0.6940
9.1100 0.5241 8.0000 0.9058
8.6100 0.9655 8.0000 0.4443
7.1300 0.6552 4.0000 0.6914
2.3900 0.8414 16.0000 0.6007
7.6900 0.8552 16.0000 0.6551
9.3000 0.8690 27.0000 0
5.4500 0.5724 49.0000 1.0000
6.1900 0.8138 37.0000 0.7848
7.9300 0.6345 45.0000 0.6992
4.4000 0.8069 37.0000 0.5419
7.4600 0.1448 31.0000 1.0000
2.0100 0 7.0000 0.4546
2.0400 0.5862 31.0000 1.0000
7.7300 0.4069 2.0000 1.0000
6.3500 0.6000 29.0000 0.1824
8.2900 0.0276 15.0000 1.0000
3.5400 0.8138 0 0.4088
7.4400 0.4897 46.0000 0.2731标准化矩阵 Z =
0.1622 0.2483 0.0245 0.3065
0.0702 0.1408 0.2863 0.2127
0.3150 0.1814 0.0655 0.2776
0.2977 0.3342 0.0655 0.1361
0.2466 0.2268 0.0327 0.2119
0.0826 0.2912 0.1309 0.1841
0.2659 0.2960 0.1309 0.2008
0.3216 0.3008 0.2209 0
0.1885 0.1981 0.4009 0.3065
0.2141 0.2817 0.3027 0.2405
0.2742 0.2196 0.3682 0.2143
0.1522 0.2793 0.3027 0.1661
0.2580 0.0501 0.2536 0.3065
0.0695 0 0.0573 0.1393
0.0705 0.2029 0.2536 0.3065
0.2673 0.1408 0.0164 0.3065
0.2196 0.2077 0.2373 0.0559
0.2867 0.0095 0.1227 0.3065
0.1224 0.2817 0 0.1253
0.2573 0.1695 0.3763 0.0837最后的得分为：
stand_S =
0.0451
0.0478
0.0485
0.0488
0.0431
0.0448
0.0539
0.0510
0.0681
0.0684
0.0702
0.0591
0.0527
0.0192
0.0533
0.0434
0.0466
0.0438
0.0358
0.0565
sorted_S =0.0702
0.0684
0.0681
0.0591
0.0565
0.0539
0.0533
0.0527
0.0510
0.0488
0.0485
0.0478
0.0466
0.0451
0.0448
0.0438
0.0434
0.0431
0.0358
0.0192
index =11
10
9
12
20
7
15
13
8
4
3
2
17
1
6
18
16
5
19
14
8.增加权重之后的topsis
主要修改的就是步骤二之后添加了一个输入权重的过程，以及步骤四要乘以权重
%% 第一步：把数据复制到工作区，并将这个矩阵命名为X
% （1）在工作区右键，点击新建（Ctrl+N)，输入变量名称为X
% （2）在Excel中复制数据，再回到Matlab中右键，点击粘贴Excel数据（Ctrl+Shift+V）
% （3）关掉这个窗口，点击X变量，右键另存为，保存为mat文件（下次就不用复制粘贴了，只需使用load命令即可加载数据）
% （4）注意，代码和数据要放在同一个目录下哦，且Matlab的当前文件夹也要是这个目录。
clear;clc
load data_water_quality.mat
%% 注意：如果提示: 错误使用 load，无法读取文件 'data_water_quality.mat'。没有此类文件或目录。
% 那么原因是因为你的Matlab的当前文件夹中不存在这个文件
% 可以使用cd函数修改Matlab的当前文件夹
% 比如说，我的代码和数据放在了: D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据
% 那么我就可以输入命令：
% cd 'D:第2讲.TOPSIS法（优劣解距离法）\代码和例题数据'
% 也可以看我更新的视频：“更新9_Topsis代码为什么运行失败_得分结果怎么可视化以及权重的确定如何更加准确”，里面有介绍
%% 第二步：判断是否需要正向化
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标'])
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0： ']);
if Judge == 1
Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); %[2,3,4]
disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]： '); %[2,1,3]
% 注意，Position和Type是两个同维度的行向量
for i = 1 : size(Position,2) %这里需要对这些列分别处理，因此我们需要知道一共要处理的次数，即循环的次数
X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
% Positivization是我们自己定义的函数，其作用是进行正向化，其一共接收三个参数
% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i)) 回顾上一讲的知识，X(:,n)表示取第n列的全部元素
% 第二个参数是对应的这一列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型）
% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
% 该函数有一个返回值，它返回正向化之后的指标，我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
end
disp('正向化后的矩阵 X = ')
disp(X)
end
%% 作业：在这里增加是否需要算加权
% 补充一个基础知识：m*n维的矩阵A 点乘 n维行向量B，等于这个A的每一行都点乘B
% （注意：2017以及之后版本的Matlab才支持，老版本Matlab会报错）
% % 假如原始数据为：
% A=[1, 2, 3;
% 2, 4, 6]
% % 权重矩阵为：
% B=[ 0.2, 0.5 ,0.3 ]
% % 加权后为：
% C=A .* B
% 0.2000 1.0000 0.9000
% 0.4000 2.0000 1.8000
% 类似的，还有矩阵和向量的点除， 大家可以自己试试计算A ./ B
% 注意，矩阵和向量没有 .- 和 .+ 哦 ，大家可以试试，如果计算A.+B 和 A.-B会报什么错误。
%% 这里补充一个小插曲
% % 在上一讲层次分析法的代码中，我们可以优化以下的语句：
% % Sum_A = sum(A);
% % SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
% % Stand_A = A ./ SUM_A;
% % 事实上，我们把第三行换成：Stand_A = A ./ Sum_A; 也是可以的哦
% % (再次强调，新版本的Matlab才能运行哦)
%% 让用户判断是否需要增加权重
disp('请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0')
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
disp(['如果你有3个指标，你就需要输入3个权重，例如它们分别为0.25,0.25,0.5, 则你需要输入[0.25,0.25,0.5]']);
weigh = input(['你需要输入' num2str(m) '个权数。' '请以行向量的形式输入这' num2str(m) '个权重: ']);
OK = 0; % 用来判断用户的输入格式是否正确
while OK == 0
if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 这里要注意浮点数的运算是不精准的。
OK =1;
else
weigh = input('你输入的有误，请重新输入权重行向量: ');
end
end
else
weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
%% 第三步：对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
%% 第四步：计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
% A = magic(5) % 幻方矩阵
% M = magic(n)返回由1到n^2的整数构成并且总行数和总列数相等的n×n矩阵。阶次n必须为大于或等于3的标量。
% sort(A)若A是向量不管是列还是行向量，默认都是对A进行升序排列。sort(A)是默认的升序，而sort(A,'descend')是降序排序。
% sort(A)若A是矩阵，默认对A的各列进行升序排列
% sort(A,dim)
% dim=1时等效sort(A)
% dim=2时表示对A中的各行元素升序排列
% A = [2,1,3,8]
% Matlab中给一维向量排序是使用sort函数：sort（A），排序是按升序进行的，其中A为待排序的向量；
% 若欲保留排列前的索引，则可用 [sA,index] = sort(A,'descend') ，排序后，sA是排序好的向量，index是向量sA中对A的索引。
% sA = 8 3 2 1
% index = 4 3 1 2
5.模型扩展
1.问题引出
计算得分时的操作
这样操作就是默认了两个的权重是相同的，但是实际上不同的指标权重应该是不相同的。
2.带权重的TOPSIS
可以使用层次分析法带上权重
结语
要什么结语，累死了，又是一篇文章写一天的一天，ffff！！！！