收集巧克力(LeetCode日记)

LeetCode-2735-收集巧克力

题目信息:

给你一个长度为 $n$ 、下标从 $0$ 开始的整数数组 $nums$ ，表示收集不同巧克力的成本。每个巧克力都对应一个不同的类型，最初，位于下标 $i$ 的巧克力就对应第 $i$ 个类型。

在一步操作中，你可以用成本 $x$ 执行下述行为：

同时修改所有巧克力的类型，将巧克力的类型 $i^{th}$ 修改为类型 $((i+1)modn{)}^{th}$。

假设你可以执行任意次操作，请返回收集所有类型巧克力所需的最小成本。

• 示例1：

输入：nums = [20,1,15], x = 5
输出：13
解释：最开始，巧克力的类型分别是 [0,1,2] 。我们可以用成本 1 购买第 1 个类型的巧克力。
接着，我们用成本 5 执行一次操作，巧克力的类型变更为 [1,2,0] 。我们可以用成本 1 购买第 2 个类型的巧克力。
然后，我们用成本 5 执行一次操作，巧克力的类型变更为 [2,0,1] 。我们可以用成本 1 购买第 0 个类型的巧克力。
因此，收集所有类型的巧克力需要的总成本是 (1 + 5 + 1 + 5 + 1) = 13 。可以证明这是一种最优方案。

• 示例2：

输入：nums = [1,2,3], x = 4
输出：6
解释：我们将会按最初的成本收集全部三个类型的巧克力，而不需执行任何操作。因此，收集所有类型的巧克力需要的总成本是 1 + 2 + 3 = 6 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 1 <= nums[i] <= 109
• 1 <= x <= 109

相关标签 ：数组、枚举、动态规划

题解

今天的问题属于中等难度，初见这道题，我认为动态规划将是一个很好的思路。对于每次操做，都可以比较当前情况下，直接收集权值最小的蛋糕 或者 先进行操做在进行购买权值最小的蛋糕。可是尝试后发现这样并不成功。下面我们来看一下正确的方法。

方法：枚举收集的次数

对于初始类型为 $i$ 的巧克力，如果我们一共进行了 $kkk$ 次操作，相当于我们可以用：$$nums[i],nums[(i+1)modn],\cdots ,nums[(i+k)modn](1)$$

中的任意成本去购买它。由于我们希望成本最小，那么我们一定选择上述 $k+1$ 个成本中的最小值。同时我们发现，当进行了第 $n$ 次操作后，它的价格又会回到 $nums[i]$ 并继续开始循环，因此操作的次数不会超过 $n-1$ 。

这样一来，我们就可以枚举操作次数了，它的范围为 $[0,n-1]$ 。当操作次数为 $k$ 时，初始类型为 $i$ 的巧克力需要的成本就是 $(1)$ 中的最小值，我们就可以使用一个二维数组 $f(i,k)$ 记录该值，它有如下的递推式：

$$\{\begin{array}{l}f(i,0)=nums[i]\\ f(i,k)=\min \{f(i,k-1),nums[(i+k)\mathrm{mod}n]\}\end{array}$$
即 $f(i,k)$ 相较于 $f(i,k-1)$ ，多了一个 $nums[(i+k)modn]$ 的选择。此时，操作次数为 $k$ 时的最小成本即为：
$$k\cdot x+\sum _{i=0}^{n-1}f(i,k)(2)$$

最终的答案即为所有 $k\in [0,n-1]$ 中式 $(2)$ 的最小值。

实现代码（Python）

class Solution:
    def minCost(self, nums: List[int], x: int) -> int:
        n = len(nums)
        f = nums[:]  # 初始化 f 数组，表示当前位置开始的最小成本
        ans = sum(f)  # 初始化结果为 f 的总和

        for k in range(1, n):
            # 更新 f 数组，每次将当前位置的值更新为当前位置和右侧位置的最小值
            for i in range(n):
                f[i] = min(f[i], nums[(i + k) % n])

            # 更新结果，计算当前成本并加上操作次数乘以 x
            ans = min(ans, k * x + sum(f))
        
        return ans

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$ 。

题记：

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• 研究生在读，我会尽量保持LeetCode每日一题的思路和代码输出。希望大家多多支持。
• 水平有限，希望各位大佬能够批评指正。您的教诲是我进步的船帆。
• 希望各位跟我一样的小白能跟我一起参与到做题和讨论中来。共同进步是我所能期盼的最高愿想。
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