专题二 MATLAB矩阵处理

专题二 MATLAB矩阵处理

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一、特殊矩阵

1、通用的特殊矩阵

(1)-zeros函数：产生全为0的矩阵，即零矩阵
-ones函数：产生全为1的矩阵，及幺矩阵
-eye函数：产生对角线全为1的矩阵，当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵
-rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵
-randn函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵
(2)以上函数的调用格式相似，以zeros函数为例子：
-zeros(m)：产生m * m的零矩阵
-zeros(m,n)：产生m * n的零矩阵
-zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵
(3)若要产生n阶矩阵，且矩阵的元素均在区间[a,b]上：
-fix(a+(b-a+1)*rand(n))

(4)若要产生n阶矩阵，且矩阵是均值为μ，方差为σ²的正态分布：
-μ+σ * randn(n)

2、用于专门学科的特殊矩阵

(1)魔方矩阵(Magic Square)

n阶魔方矩阵由1,2,3,……,n²共n²个整数组成，且每行、每列及主副对角线上各n个元素之和都相等。
n阶魔方矩阵每行每列元素的和为(1+2+3+……+n²)/n=(n+n^3)/2
magic()函数可以产生一个特定的魔方阵

(2)范德蒙矩阵

vander(V)函数：生成以向量V为基础的范德蒙矩阵

(3)希尔伯特矩阵

hilb(n)函数：生成n阶希尔伯特矩阵


希尔伯特矩阵是高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关，阶数越大，病态越严重。

(4)伴随矩阵

compan§函数：生成伴随矩阵，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数在前，低次幂系数在后。

(5) 帕斯卡矩阵

根据二项式定理，（x+y)^n展开后的系数随着n的增大组成一个三角形表，即杨辉三角形。
把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素，即为n阶帕斯卡矩阵。故P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)，且P(1,j)=1,P(i,1)=1
pascal(n)函数：生成一个n阶帕斯卡矩阵

二、矩阵变换

1.对角阵

对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵

(1)提取矩阵的对角线元素

diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量

(2)构造对角矩阵

diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵
diag(V,k)：以向量V为第k条主对角线元素，产生对角矩阵

2、三角阵

(1)上三角阵

上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵
triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素

(2)下三角阵

下三角阵：矩阵的对角线以上的元素全为零的矩阵
tril(A)：提取矩阵A的主对角线及以下的元素
tril(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以下的元素

3、矩阵的转置

转置运算符是小数点后接单引号，即 .’
共轭转置运算符是单引号，即 ’

4、矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略，当k为负数时表示顺时针旋转。

5、矩阵的翻转

矩阵左右翻转：是将矩阵的第n列和倒数第n列调换
fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转
矩阵上下翻转：是将矩阵的第n行和倒数第n行调换
flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转
例子：证明魔方矩阵的主对角线、副对角线元素之和相等

6、矩阵的逆

inv(A)：求矩阵A的逆
例子：求解线性方程组：
x+2y+3z=5
x+4y+9z=-2
x+8y+27z=6

三、矩阵求值

1、方阵的行列式

det(A)：表示求矩阵A对应行列式的值

2、矩阵的秩

rank(A)：表示求矩阵A的秩

3、矩阵的迹

trace(A)：表示求矩阵A的迹
（或者提取矩阵A的主对角线元素再求和：sum(diag(A))）

4、向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度

(1)向量的3种常见范数

• 向量1-范数：向量元素的绝对值之和。MATLAB中，用函数norm(V,1)来计算。
  
• 向量2-范数：向量元素绝对值的平方和的平方根。MATLAB中，用函数norm(V,2)或者norm(V)来计算。
  -向量∞-范数：所有向量元素绝对值中的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,inf)来计算。
  

(2)矩阵的范数

• 矩阵1-范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,1)来计算。
  
• 向量2-范数：A’A矩阵的最大特征值的平方根。MATLAB中，用函数norm(A,2)或者norm(A)来计算。
  
  -向量∞-范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。MATLAB中，用函数norm(A,inf)来计算。
  

(3)矩阵的条件数

矩阵的条件数：是描述矩阵性能的一个参数，矩阵A的条件数等于A的范数于A的逆矩阵的范数的乘积。
矩阵的条件数越接近1，矩阵的性能越好。反之则越差。所谓性能，即矩阵的稳定性。

• cond(A,1)：计算矩阵A的1-范数下的条件数
• cond(A)或cond(A,2)：计算矩阵A的-范数下的条件数
• cond(A,inf)：计算矩阵A的∞-范数下的条件数
  例子：求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数
  
  可见当阶数越大，希尔伯特矩阵的条件数越大，因此其性能越差。

四、矩阵的特征值和特征向量

1、求矩阵的特征值和特征向量

• E=eig(A)函数：求矩阵A的全部特征值，构成向量E
• [X,D]=eig(A)函数：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
  

2、矩阵特征值的几何意义

设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为x。y=Ax=λx，由此可见，向量x经由矩阵A变换得到y，等同于向量x沿着原来方向伸缩λ倍。

例子：已知大写字母M的各结点坐标如表所示：

x	0	0.5	0.5	3	5.5	5.5	6	6	3	0
y	0	0	6	0	6	0	0	8	1	8

(1)绘制M图
(2)用矩阵A=[1,0.5;0,1]，对M的结点坐标进行变换，并绘制图像


可见：M原先是正体，而后变成斜体。因此，在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。

五、稀疏矩阵

稀疏矩阵：零元素个数大于非零元素个数的矩阵。

1、矩阵的存储方式

• 完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储
• 稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。
  当稀疏矩阵很大时，采用稀疏存储方式，可以极大的减少存储空间。

2、稀疏存储方式的产生

(1)完全存储方式和稀疏存储方式之间的转化

• A=sparse(B)：将矩阵B转化为稀疏存储方式的矩阵A
• B=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵B
  

(2)直接建立稀疏存储矩阵

• sparse(m,n)：生成一个m*n的所有元素都是零的稀疏矩阵

• sparse(u,v,S)：其中u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i),v(i)分别是S(i)的行和列下标。
  

• B=spconvert(A)：直接建立稀疏存储矩阵。其中A为一个m* 3或m*4的矩阵，每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数。
  A(i,1)表示第i个非零元素所在的行
  A(i,2)表示第i个非零元素所在的列
  A(i,3)表示第i个非零元素值的实部
  A(i,4)表示第i个非零元素值的虚部
  若矩阵的全部元素都为实数，则无需第4列
  

(3)带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

• [B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
  r=min(m,n)，若非零对角线上元素个数等于r，则取全部元素。否则，应该用零补足。
  （补零原则：若行数<列数，即m0时在后面补。若行数≥列数，即m≥n，则d<0在后面补0，d>0时在前面补。
  
  

• A=spdiags(B,d,m,n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m,n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置
  

(4)单位矩阵的稀疏存储

speye(m,n)：返回一个m*n的稀疏存储单位矩阵。

3、稀疏矩阵应用举例

总结