线性方程组的数值解法（结尾）

迭代法：

1.雅可比迭代

对于线性方程组：

对其进行转化，可以得到解为：

那么迭代形式为，等号左边为k+1次迭代，右边为K次迭代：

直接带进去算就OK了，这是雅可比迭代公式。

假设有，有，，入过矩阵D可逆，那么：

改写一下：

将其展开：

，

那么矩阵D为迭代矩阵，当该矩阵满足：

，

即该矩阵的特征值的绝对值中最大的仍然小于1，说明该方法收敛，可以用于计算。

对角优：对于方阵任意行、列它的主对角线元素要绝对大于该元素分别对应的行、列值之和.

如果：若矩阵M为严格对角优，则M可逆；

若A为严格对角优，说明迭代收敛。

2.高斯迭代

高斯迭代的格式

，

和雅可比公式比较一下，区别在哪里？

首先，雅可比公式等式左边均为k+1次迭代，右边均为k次迭代。

而高斯迭代左边为均为k+1次迭代，右边第一行无k+1,第二行一个，最后均为K+1次迭代：

令：

有

令：，那么S为高斯迭代矩阵，判断方式和前面的雅可比迭代一样，这里不再赘述。

那么矩阵D为迭代矩阵，当该矩阵满足：

，

即该矩阵的特征值的绝对值中最大的仍然小于1，说明该方法收敛，可以用于计算。

对角优：对于方阵任意行、列它的主对角线元素要绝对大于该元素分别对应的行、列值之和.

如果：若矩阵M为严格对角优，则M可逆；

若A为严格对角优，说明迭代收敛。

3.松弛迭代

松弛因子：

关于松弛迭代的公式是：

，

当 = 1时，松弛迭代即为高斯迭代。