树链剖分（重链剖分）总结

基本内容

基本思想

\qquad 树链剖分，顾名思义，是应用在树上的一种数据结构。一般用于处理动态维护路径信息、子树信息的问题，例如路径权值修改，路径查询权值和（最值），子树查询权值和（最值）等。树链剖分是将树剖析成一条条链，再利用 $\text{dfn}$ 序上套线段树实现动态维护区间信息。

实现过程

step1: 重儿子、重链

\qquad 回顾标题：树链剖分（重链剖分），为什么要在小括号里加个重链剖分 呢？

树链剖分（树剖/链剖）有多种形式，如重链剖分，长链剖分和用于 Link/cut Tree 的剖分（有时被称作「实链剖分」），大多数情况下（没有特别说明时），「树链剖分」都指「重链剖分」。—— from oi-wiki

\qquad 话说至此，什么又是重链剖分呢？在了解这之前，我们先来了解下什么是重儿子。

\qquad “重”儿子，为什么说它“重”呢？在树上，什么信息可以恰当，形象的说“轻重”呢？当然是 $\text{size}$ （子树大小）啦！我们形式化的定义一下重儿子：假设 ${\text{son}}_x$ 表示点 $\text{x}$ 的重儿子，${\text{to}}_x$ 表示 $\text{x}$ 的儿子们，${\text{sze}}_x$ 表示以 $\text{x}$ 为根的子树的大小，那么 ${\text{sze}}_{{\text{son}}_x}={\max }_{u\in {\text{to}}_x}{\text{sze}}_u$。用语言描述就是：重儿子的子树大小是所有子节点中最大的。我们把剩余的子节点定义为轻儿子，点 $\text{x}$ 向 ${\text{son}}_x$ 连的边定义为重边，剩余的边定义为轻边；同时，我们把由若干条（可以是 $0$）重边首尾拼接而成的链叫做重链，那么整棵树就可以被剖分成若干条重链，而且每一个点一定存在于一条重链中。这意味着我们可以用重链将树完全剖分。

step2：dfn 序

\qquad 在介绍树剖时，曾提到过树剖是利用 $\text{dfn}$ 序加线段树来完成子树修改、查询和路径修改、查询。对于子树的操作，我们都知道子树内的点 $\text{dfn}$ 序永远是连续的，也就是说对于子树的操作是可以轻松完成的。那么对于路径操作，怎么搞呢？

\qquad 既然上面提到重链可以将树完全剖分，那么我们不妨在 $\text{dfs}$ 的时候优先递归重儿子，然后再递归轻儿子，这样我们不仅可以保证子树内 $\text{dfn}$ 序连续，还可以保证一条重链上的点的 $\text{dfn}$ 序连续。有了这个重要性质，我们便可以轻松做到对重链的修改。想到了这一点，那么路径修改也就很简单了：假设一条路径是从 $\text{x}$ 到 $\text{y}$，我们将路径拆成从 $\text{lca}$ 到 $\text{x}$，从 $\text{lca}$ 到 $\text{y}$ 两条路径，然后我们分别从 $\text{x}$，$\text{y}$ 开始往 $\text{lca}$ 跳重链，对于一条重链，我们先跳到这条链的一个端点，在 $\Theta (\log n)$ 的时间内修改，然后直接跳到这条链的另一个端点，接着往上跳别的重链，重复上述操作即可。这就是重链剖分操作的整体过程。

step3：时间复杂度分析

\qquad 上述操作看起来非常暴力，我们接下来来分析一下这一过程的时间复杂度。首先，这一过程的时间复杂度跟我们跳过的重链的条数有着密切关系，跟长度并无太大关系。我们不难发现，两条重链是会被一条轻边断开的。因此，我们只需分析出这一过程中会跳过多少轻边即可。这就要回到我们为什么要定义重儿子了。

\qquad 重儿子的子树大小是所有儿子中最大的，但是我们并不能得知重儿子子树大小的范围。对于一条链，重儿子子树大小可能达到 $\Theta (n)$ 级别，但是对于菊花图，这一大小可能只有 $1$。但是，我们是可以得到轻儿子的子树大小范围的。轻儿子的子树大小一定不超过 $\frac{{\text{sze}}_x}{2}$。这一点我们通过反证法很好证明。接着分析下去，我们发现每经过一条轻边，子树大小就会至少除以 $2$，那是不是就意味着我们最多只会经过 $\Theta (\log n)$ 条轻边呢？那么我们跳链的次数也是 $\Theta (\log n)$ 级别的，配上线段树，总体时间复杂度 $\Theta (n{\log }^{2}n)$，就能轻松解决掉子树操作、路径操作的问题了。

代码实现

求重儿子

void dfs_pre(int x, int fa) {
	sze[x] = 1, dep[x] = dep[fa] + 1, fat[x] = fa;//需要记录每个点的父亲，跳链时会用
	for(int i = head[x]; i; i = edge[i].lst) {
		int To = edge[i].to;
		if(To == fa) continue;
		dfs_pre(To, x);
		sze[x] += sze[To];
		if(sze[To] > sze[son[x]]) son[x] = To;//更新重儿子
	}
}

重链剖分

\qquad 这一段应该是树剖中最重要的一个 $\text{dfs}$ 了。

void dfs(int x, int fa, int chain) {
	bel[x] = chain;//记录当前点所在的链的链头
	dfn[x] = ++ num;//记录dfn序
	v[num] = x;//记录dfn序为num的点是哪一个
	if(son[x]) dfs(son[x], x, chain);//重儿子跟自己在同一条链中
	for(int i = head[x]; i; i = edge[i].lst) {
		int To = edge[i].to;
		if(To == fa || To == son[x]) continue;
		dfs(To, x, To);//轻儿子跟自己不在一条链中，每个轻儿子都新开一条链
	}
}

各种操作

求 lca：

int lca(int x, int y) {
	while(bel[x] != bel[y]) {//只要链头不同，就让 链头 深度更大的点往上跳
		if(dep[bel[x]] > dep[bel[y]]) x = fat[bel[x]];
		else y = fat[bel[y]];
	}
	return dep[x] > dep[y] ? y : x;
}

路径修改：

void C(int x, int y, int z) {//C:change
	for(; bel[x] != bel[y]; x = fat[bel[x]]) change(1, dfn[bel[x]], dfn[x], z);
	change(1, dfn[y] + 1, dfn[x], z);
}

//main 中
int Lca = lca(u, v);
C(u, Lca, w), C(v, Lca, w);//将路径拆成两条，分别修改

路径查询：

int Q(int x, int y) {
	int maxx = 0;
	for(; bel[x] != bel[y]; x = fat[bel[x]]) maxx = max(maxx, query(1, dfn[bel[x]], dfn[x]));
	maxx = max(maxx, query(1, dfn[y] + 1, dfn[x]));
	return maxx;
}

// main 中
int Lca = lca(u, v);
printf("%d\n", max(Q(u, Lca), Q(v, Lca)));

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