【算法挨揍日记】day46——377. 组合总和 Ⅳ\、96. 不同的二叉搜索树
377. 组合总和 Ⅳ
377. 组合总和 Ⅳ
题目描述：
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
解题思路：
算法思路：
⼀定要注意，我们的背包问题本质上求的是「组合」数问题，⽽这⼀道题求的是「排列数」问题。
因此我们不能被这道题给迷惑，还是⽤常规的 dp 思想来解决这道题。
1. 状态表⽰：
这道题的状态表⽰就是根据「拆分出相同⼦问题」的⽅式，抽象出来⼀个状态表⽰：
当我们在求 target 这个数⼀共有⼏种排列⽅式的时候，对于最后⼀个位置，如果我们拿出数组
中的⼀个数 x ，接下来就是去找 target - x ⼀共有多少种排列⽅式。
因此我们可以抽象出来⼀个状态表⽰：
dp[i] 表⽰：总和为 i 的时候，⼀共有多少种排列⽅案。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i] ，我们根据「最后⼀个位置」划分，我们可以选择数组中的任意⼀个数
nums[j] ，其中 0 <= j <= n - 1 。
当 nums[j] <= target 的时候，此时的排列数等于我们先找到 target - nums[j] 的⽅
案数，然后在每⼀个⽅案后⾯加上⼀个数字 nums[j] 即可。
因为有很多个 j 符合情况，因此我们的状态转移⽅程为： dp[i] += dp[target -
nums[j] ，其中 0 <= j <= n - 1 。
3. 初始化：
当和为 0 的时候，我们可以什么都不选，「空集」⼀种⽅案，因此 dp[0] = 1 。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」易得「从左往右」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们要返回的是 dp[target] 的值。
解题代码：
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector& nums, int target) {
int n=nums.size();
vectordp(target+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=target;i++)
{
for(int j=0;j=nums[j])dp[i]+=dp[i-nums[j]];
}
return dp[target];
}
}; 96. 不同的二叉搜索树
96. 不同的二叉搜索树
题目描述：
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
解题思路：
算法思路：
这道题属于「卡特兰数」的⼀个应⽤，同样能解决的问题还有「合法的进出栈序列」、「括号匹配
的括号序列」、「电影购票」等等。如果感兴趣的同学可以「百度」搜索卡特兰数，会有很多详细
的介绍。
1. 状态表⽰：
这道题的状态表⽰就是根据「拆分出相同⼦问题」的⽅式，抽象出来⼀个状态表⽰：
当我们在求个数为 n 的 BST 的个数的时候，当确定⼀个根节点之后，左右⼦树的结点「个数」
也确定了。此时左右⼦树就会变成相同的⼦问题，因此我们可以这样定义状态表⽰：
dp[i] 表⽰：当结点的数量为 i 个的时候，⼀共有多少颗 BST 。
难的是如何推导状态转移⽅程，因为它跟我们之前常⻅的状态转移⽅程不是很像。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i] ，此时我们已经有 i 个结点了，为了⽅便叙述，我们将这 i 个结点排好序，并且编
上 1, 2, 3, 4, 5.....i 的编号。
那么，对于所有不同的 BST ，我们可以按照下⾯的划分规则，分成不同的 i 类：「按照不同的
头结点来分类」。分类结果就是：
i. 头结点为 1 号结点的所有 BST
ii. 头结点为 2 号结点的所有 BST
iii. ......
如果我们能求出「每⼀类中的 BST 的数量」，将所有类的 BST 数量累加在⼀起，就是最后结
果。
接下来选择「头结点为 j 号」的结点，来分析这 i 类 BST 的通⽤求法。
如果选择「 j 号结点来作为头结点」，根据 BST 的定义：
i. j 号结点的「左⼦树」的结点编号应该在 [1, j - 1] 之间，⼀共有 j - 1 个结点。
那么 j 号结点作为头结点的话，它的「左⼦树的种类」就有 dp[j - 1] 种（回顾⼀下
我们 dp 数组的定义哈）；
ii. j 号结点的「右⼦树」的结点编号应该在 [j + 1, i] 之间，⼀共有 i - j 个结点。那
么 j 号结点作为头结点的话，它的「右⼦树的种类」就有 dp[i - j] 种；
根据「排列组合」的原理可得： j 号结点作为头结点的 BST 的种类⼀共有 dp[j - 1] *
dp[i - j] 种！
因此，我们只要把「不同头结点的 BST 数量」累加在⼀起，就能得到 dp[i] 的值： dp[i]
+= dp[j - 1] * dp[i - j] ( 1 <= j <= i) 。「注意⽤的是 += ，并且 j 从 1 变
化到 i 」。
3. 初始化：
我们注意到，每⼀个状态转移⾥⾯的 j - 1 和 i - j 都是⼩于 i 的，并且可能会⽤到前⼀
个的状态（当 i = 1 ， j = 1 的时候，要⽤到 dp[0] 的数据）。因此要先把第⼀个元素初始
化。
当 i = 0 的时候，表⽰⼀颗空树，「空树也是⼀颗⼆叉搜索树」，因此 dp[0] = 1 。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」，易得「从左往右」。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，我们要返回的是 dp[n] 的值。
解题代码：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector dp(n + 1,0); // dp[i] 表⽰：当结点的数量为 i 个的时候，⼀共有多少颗 BST
dp[0] = 1; // 空树也是⼀颗⼆叉搜索树
for (int i = 1; i <= n; i++) // 枚举结点的总数
for (int j = 1; j <= i; j++) // 选择每⼀个根节点
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; // ⼆叉树总量累加在⼀起
return dp[n];
}
};