33. 丑数

题目描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

解题思路

方法二：创建数组保存已经找到的丑数，用空间换时间的解法：

前面的算法之所以效率低，很大程度上是因为不管一个数是不是丑数我们对它都要作计算。接下来我们试着找到一种只要计算丑数的方法，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2，3，5的结果。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排序好的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2，3，5得到的。

这种思路的关键在于怎样确定数组里面的丑数是排序好的。假设数组中已经有若干个丑数排好后存放在数组中，并且把已有的最大的丑数记作M，我们接下来分析如何生成下一个丑数。该丑数肯定是前面某个丑数乘以2，3，5的结果。所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2.在乘以2的时候，能得到若干个小于或等于M的结果。由于是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需要再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是指按从小到大的顺序生成的，其他更大的结果以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果即为M2.同样，我们把已有的每一个丑数乘以3，5，能得到第一个大于M的结果M3和M5.那么下一个丑数应该是M2,M3,M5。这3个数的最小者。

前面分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2，3，5.事实上这不是必须的，因为已有的丑数都是按顺序存放在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T2，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有的最大丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T2.对乘以3和5而言，也存在这同样的T3和T5.

代码实现

动态规划

public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index == 0)
            return 0;
        int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
        int[] dp = new int[index];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < index; i ++) {
            int next2 = dp[i2]*2, next3 = dp[i3]*3, next5 = dp[i5]*5;
            dp[i] = Math.min(next2, Math.min(next3, next5));
            if(dp[i] == next2)
                i2 ++;
            if(dp[i] == next3)
                i3 ++;
            if(dp[i] == next5)
                i5 ++;
        }
        return dp[index - 1];
    }
}