P3704数字表格(莫比乌斯反演)

 

题目背景

Doris 刚刚学习了 fibonacci 数列。用 fi​ 表示数列的第 i 项，那么

0=0,1=1f0​=0,f1​=1

fn​=fn−1​+fn−2​,n≥2

题目描述

Doris 用老师的超级计算机生成了一个 n×m 的表格，

第 i 行第 j 列的格子中的数是 gcd(i,j)​，其中gcd(i,j) 表示 i,j 的最大公约数。

Doris 的表格中共有 n×m 个数，她想知道这些数的乘积是多少。

答案对 109+7 取模。

输入格式

本题单个测试点内有多组测试数据。

输入的第一行是一个整数 T，表示测试数据的组数。

接下来 T 行，每行两个整数 n,m，表示一组数据。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

3
2 3
4 5
6 7

输出 #1复制

1
6
960

思路：

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int N = 1e6+10;
const long long  mod =1e9+7;
#define LL long long 
int pre[N],st[N];
int n,cn,m;
LL mu[N],ff[N],gg[N],F[N];
LL g(int l, int k)
{
    return (LL)k / (k / l);
}
LL quick(LL x, LL y,LL mod)
{
    LL ans = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1)
            ans = ans * x % mod;
        y = y >> 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return ans;
}
void into()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
    {
        if (!st[i]) pre[++cn] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; pre[j] * i < N && j <= cn; j++)
        {
            st[pre[j] * i] = 1;
            if (i % pre[j] == 0) break;
            mu[i * pre[j]] = -mu[i];
        }
    }
       F[0]=F[1]=gg[1]=ff[1] = 1;
        for (int i = 2; i < N; i++)
        {
            ff[i] = (ff[i - 2] + ff[i - 1]) % mod;
            gg[i] = quick(ff[i], mod - 2,mod);
            F[i] = 1;
        }
            for(int i=1;i            for (int j = i; j < N; j += i)
           {
               if (mu[j/i] == 1)
               {
                   F[j] = (LL)F[j] * ff[i] % mod;
               }
               else if (mu[j/i] == -1)
               {
                   F[j] = (LL)F[j] * gg[i] % mod;
               }
           }
       for (int i = 1; i < N; i++)
           F[i] = (LL)F[i] * F[i - 1] % mod;
}
int main()
{
    into();
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cin >> n >> m;
        if (n > m)swap(n, m);
        LL ans = 1;
        for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
        {
            r = min(n, (int)min(g(l, n), g(l, m)));
            LL s = (LL)F[r] * quick(F[l - 1], mod - 2, mod) % mod;
            ans = (LL)ans * quick(s, (LL)(n / l) * (m / l) % (mod - 1),mod) % mod;
        }
        cout << (ans % mod + mod) % mod << endl;
    }
  
    return 0;
}