matlab数值计算函数--ode45

当难以求得微分方程的解析解时，可以求其数值解，Matlab中求微分方程数值解的函数有七个：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb。本文讲解ode45，其实原理都是相似的。

一、函数语法

ode45函数的形式张下面的样子

[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

• odefun: 函数句柄，用于表示ODE的右侧，例如：dy/dt=f(t,y)，可以写为f。函数句柄可以是函数，也可以是匿名函数或者内联函数
• tspan: 时间区间，可以是一个向量，也可是一个区间（如[t0,tf]）。
• y0: 初始条件，可以是一个向量。
• options: 可选参数，常用于控制ODE45的行为，如精度、步长等。

二、示例

我们举一个自由落体的例子来讲解ode45这个函数
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=v\\ \dot{v}=g\end{array}$$
其中 $x$ 为位置， $v$ 为速度， $g$ 为重力加速度，设置初始值均为 0

clc;clear;

% 初始状态
state0 = [0,0];
% 时间区间
t = [0,10];
% 运算，得到T为时间点，Y为对应时间点的状态
[T,Y] = ode45(@odefunc, t, state0);

% 绘图
figure(1)
plot(T,Y(:,1));
xlabel('t(s)');
ylabel('x')

figure(2)
plot(T,Y(:,2));
xlabel('t(s)');
ylabel('v')

% 写微分方程
function dy = odefunc(t, y)
	g = 9.8;
    dy = zeros(2,1);
    % 这里也就是求出微分方程中状态的导数
	dy(1) = y(2);
	dy(2) = g;
end

其中在 odefunc 函数中， $y$ 就可以认为是状态，而我们要给出的是下一拍状态的导数。$t$ 是时间范围，这里我们指定为0-10秒，state0 指的是初始状态，这里全部设定为0。T 是返回的时间点，因为ode45每一拍之间的时间间隔并不相同，他会自适应，所以需要记录下时间间隔，Y 是返回的每个时间下的状态，由于我们有两个状态，所以Y有两列。

得到位置和速度的图像

三、参数

设置参数就是设置 options ，这是一个结构体，

• ‘RelTol’: 相对精度，默认为1e-3。
• ‘AbsTol’: 绝对精度，默认为1e-6。
• ‘InitialStep’: 初始步长。
• ‘MaxStep’: 最大步长。
• ‘Events’: 事件函数，用于检测ODE的事件点，如极值点、零点等。

如果我们想自己设置的话就是

 options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-8);
 [T,Y] = ode45(@odefunc, t, state0);