【7】整除性与余数

定义7.1 是整数，若存在整数使，则称整数能整除整数，或称能被整除，记作：。否则，称整数不能整除整数，或称不能被整除，记作：。
请根据以上定义判断以下每对数是否整除：

表7.1.1

题7.2 以下说法是否正确：
(1) 一个数同时能被3与7整除，它一定能被21整除。
(2)一个数同时能被6与9整除，它一定能被54整除。

定义7.3 是整数且，如果存在整数，满足且，则称为除以的余数，记作。其中为商。
根据以上定义，求：
(1)
(2)
(3)

题7.4 证明：
(1) 3个除以5余3的整数相乘，其积除以5余2。
(2) 一个整数的平方，除以4不能余2。
证明 (1) 设这三个数为，根据题意，存在，满足：

所以，
所以，
(2) 讨论奇偶性：(a) 如果此数为偶数，它的平方被4除余0；(b)如果此数是奇数，它的平方被4除余1。综上，任意的整数的平方被4除不余2。

定理7.5 ，那么对于任意的整数，有
证明 因为 ，所以存在满足：

所以
因为，所以

题7.6 对于任意的整数，若，那么。
证明 以下使用反证法：
假设命题不成立，则是奇数，即存在整数，使，所以：

可见，与条件矛盾。所以假设不成立，命题成立。

题7.7 ，证明：
(1)
(2) 是平方数。
证明 (1) 中，必有一个偶数，所以2|n(n+1)(n+2);
中，必有一个是3的倍数，所以3|n(n+1)(n+2)。
综上，。

(2)

评注7.8 题7.7(2)的思路如下：
令，可以验证：

所以，，所以：

题7.9 (1) 1000之内，能被3整除的正整数有多少个?
(2) 2022之内的正整数中，既是8的倍数，又是18的正倍数有多少个？
(3) 2022之内的正整数中，3的倍数、8的倍数、18的倍数共有多少个？
解 (1) ，所以1000之内，能被3整除的正整数有333个。
(2) ，且，所以它们共同的倍数有28个。
(3) 根据容斥原理计算：

所以，满足条件的整数有个。

题7.10 9000的所有因数有_________个，它们的和是___________
解 ，所以，它的因数有个，其和为

定理7.11 整除有如下性质：
(1)
(2)
解 (1) 由条件得，存在整数，满足，所以，所以。
(2) 由条件得，存在整数，满足，所以
所以

定义7.12 记是的最大公约数，是的最小公倍数。
(30,45)=_____,[30,45]=_____,=_____,=_____

定义7.13 如果的最大公约数是1，那么称为互质数。

定理7.14
(1) ，则自然数是的公约数，当且仅当
(2) ，则自然数是的公倍数，当且仅当

定理7.15 是整数，当且仅当
证明 (1)先证必要性：假设命题不成立，则设。则存在，满足
即得，所以矛盾。所以假设不成立，命题成立。
(2) 再证充分性：假设命题不成立，则存在比大的公约数，其中。此时又有满足：
于是：矛盾。所以假设不成立，命题成立。

定理7.16 是整数，当且仅当
证明 (1)先证必要性：假设命题不成立，设
于是存在，满足：
令，则，即是的公倍数且小于，矛盾。所以假设不成立，命题成立。
(2)再证充分性：假设命题不成立，则令，则存在
另，所以，于是：矛盾。所以假设不成立，命题成立。

定理7.17
证明 设，则存在整数，满足
所以
另外，令，则 ，所以
根据定理7.16得，再由(7.17.1)得。

推论 互素，

题7.18 求以下各数的所有因数：
(1) 的所有因数：________________________
(2) 的所有因数：________________________
(3) 的所有因数：________________________
(4) 的所有因数：________________________
解 (3) 因为3,19都是因数，所以的所有因数是下式展开后不合并的各项：
所以，其因数有：

题7.19 求以下各组数的所有公因数：
(1) 的所有公因数：________________________
(2) 的所有公因数：________________________
(3) 的所有公因数：________________________

定理7.20 是自然数，，且，那么.
定理7.21 是自然数，，且，那么.