电子罗盘的椭球拟合与椭球变换

电子罗盘的椭球拟合与椭球变换

椭球拟合——最小二乘法

由电子罗盘采集数据如何得到椭球方程？

• 设椭球方程的一般形式为：
  $$A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Iz=1$$
• 令函数$f=A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Gx+2Hy+2Iz-1$, 其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I为最小二乘法所需估计变量
• 第k个样本点在函数$f$的真值为
  $$f_k=A{x}_k^2+B{y}_k^2+C{z}_k^2+2D{x}_k{y}_k+2E{x}_k{z}_k+2F{y}_k{z}_k+2G{x}_k+2H{y}_k+2I{z}_k-1+e_k=0$$
  $e_k$为残差
• 第k个样本点在函数$f$的观测值为
  $$\widehat{f_k}=A{x}_k^2+B{y}_k^2+C{z}_k^2+2D{x}_k{y}_k+2E{x}_k{z}_k+2F{y}_k{z}_k+2G{x}_k+2H{y}_k+2I{z}_k-1$$
  $$e_k=f_k-\widehat{f_k}$$
• 目标函数
  $$minQ(A,B,C,D,E,F,G,H,I)=min(\sum _{k=1}^n{e}_k^2)=min(\sum _{k=1}^n(f_k-\widehat{f_k^2}))$$
• 应用微分求极值原理确定待估计参数A、B、…、I：
  $$\{\begin{array}{r}\frac{\partial Q}{\partial A}=\frac{\partial Q}{\partial \widehat{f_k}}\frac{\partial \widehat{f_k}}{\partial A}=-2\sum _{k=1}^n(f_k-\widehat{f_k})x_k^2=0\\ \frac{\partial Q}{\partial B}=\frac{\partial Q}{\partial \widehat{f_k}}\frac{\partial \widehat{f_k}}{\partial B}=-2\sum _{k=1}^n(f_k-\widehat{f_k})y_k^2=0\\ ⋮\\ \frac{\partial Q}{\partial I}=\frac{\partial Q}{\partial \widehat{f_k}}\frac{\partial \widehat{f_k}}{\partial I}=-2\sum _{k=1}^n(f_k-\widehat{f_k})2z_k=0\end{array}$$
  整理得到
  $$令M^{T}M=\left[\begin{array}{cccc}{\sum }_{k=1}^n{x}_k^2\cdot x_k^2& {\sum }_{k=1}^n{y}_k^2\cdot x_k^2& \cdots & {\sum }_{k=1}^{n}2z_k\cdot x_k^2\\ {\sum }_{k=1}^n{x}_k^2\cdot y_k^2& {\sum }_{k=1}^n{y}_k^2\cdot y_k^2& \cdots & {\sum }_{k=1}^{n}2z_k\cdot y_k^2\\ ⋮& & & \\ {\sum }_{k=1}^n{x}_k^2\cdot 2z_k& {\sum }_{k=1}^n{y}_k^2\cdot 2z_k& \cdots & {\sum }_{k=1}^{n}2z_k\cdot 2z_k\end{array}\right]$$
  则有
  $$M^{T}M{\left[\begin{array}{ccc}A& B& \cdots I\end{array}\right]}^T=M^T{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& \cdots 1\end{array}\right]}^T$$
  求解出参数A、B、…、I，也就得到唯一确定的椭球方程。

总结

对于形如$Dw=C$的矩阵方程（D为样本构成的矩阵，w为待求参数，C为样本值组成向量），有最小二乘解：
$$w=(D^{T}D{)}^{-1}{D}^{T}C$$
待求参数$w$为椭球方程系数$w=[ABCDEFGHI]$，$D=[X_1{X}_2\cdots X_n{]}^T$,
其中$X_i=[x_i^2{y}_i^2{z}_i^{2}2x_i{y}_{i}2x_i{z}_{i}2y_i{z}_{i}2x_{i}2y_{i}2z_i]$, $C=[11\cdots 1{]}^T$

但是前述最小二乘法得到的结果并不能保证一定是椭球，也可能是其他二次曲面(如抛物面、双曲面、柱面等)。因此，需要增加约束条件以保证拟合结果是椭球。
文献[1]给出一类准则判断二次曲面是椭球。给最小二乘增加约束条件，则椭球拟合问题更新为：
$$w=(D^{T}D{)}^{-1}{D}^{T}C\Rightarrow \{\begin{array}{r}{D}^{T}Dw=\lambda C_{1}w\\ w^T{C}_{1}W=1\end{array}$$

椭球变换——任意椭球如何变换为标准椭球

标准椭球指中心在坐标原点，椭球半轴在坐标轴上的椭球。
已知任意的椭球方程，如何将其旋转以及平移到坐标轴上，得到标准椭球呢？

思路是我们先从标准椭球出发，看经过变换如何能表示任意椭球方程？

步骤一：对标准椭球进行旋转变换

设标准椭球方程为$\frac{x_1^2}{A_1^2}+\frac{y_1^2}{B_1^2}+\frac{z_1^2}{C_1^2}=1(A_1>B_1,C_1>0)$，A1,B1,C1是半轴长。标准椭球方程矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{A_1^2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{B_1^2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{C_1^2}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\end{array}\right]}^T=1$$

对上式进行整理，得到如下结果：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]=[T_x(\alpha )\cdot T_y(\beta )\cdot T_z(\gamma ){]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]=[T_z(-\gamma )\cdot T_y(-\beta )\cdot T_x(-\alpha )]\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]$$
令$[T_z(-\gamma )\cdot T_y(-\beta )\cdot T_x(-\alpha )]$为$T_{zyx}$, $T_{zyx}$的谱范数（2范数）为1

步骤二：对旋转后的椭球进行平移变换

步骤三：分析方程形式

平移矩阵$\Delta$对应的是椭球球心到原点的距离，也就是椭球球心的坐标，下面讲解椭球球心如何计算


所以，椭球球心坐标$[x_0{y}_0{z}_0]$为
$$\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]=-{\left[\begin{array}{ccc}A& D& E\\ D& B& F\\ E& F& C\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}G\\ H\\ I\end{array}\right]$$

总结：通过特征值分解，就可以求出旋转矩阵$T_{zyx}$并且还能得到椭球的半轴长,再加上椭球球心坐标，我们就得到了任意椭球到标准椭球的变换。

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参考

[1] Qingde Li and John G.Griffiths, Least Squares Ellipsoid Specific Fitting.Proceedings of the Geometric Modeling and Processing 2004.