MIT_线性代数笔记：第 23 讲 微分方程和 exp(At)
目录
- 微分方程 Differential equations
- 矩阵指数函数 Matrix exponential e A t e^{At} eAt
- 二阶微分方程 Second order differential equations
本讲中我们将面对微分方程，将一阶常系数微分方程转化为线性代数问题进行处理。主要思路基于常系数线性方程的解是指数形式，而寻找其指数和系数就是线代主要研究的问题。这里会涉及到矩阵型指数的运算 e A t e^{At} eAt。
微分方程 Differential equations
d u 1 d t = − u 1 + 2 u 2 d u 2 d t = u 1 − 2 u 2 \begin{align*} &\frac{du_1}{dt} = -u_1 + 2u_2\\ &\frac{du_2}{dt} = u_1 -2u_2 \end{align*} dtdu1=−u1+2u2dtdu2=u1−2u2
初值条件 u 1 u_1 u1 =1 , u 0 u_0 u0 =0 → \rightarrow → d u d t = A u \frac{du}{dt} = Au dtdu=Au, A = [ − 1 2 1 − 2 ] A=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} A=[−112−2],u(0) = [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} [10]
分析矩阵 A 的目的是要追踪 u 随时间的变化，而首先要做的是找到矩阵的特征值和特征变量。
A = [ − 1 2 1 − 2 ] A=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} A=[−112−2],很明显矩阵 A 为奇异矩阵，因此存在一个特征值λ1=0，而矩阵的迹为-3，因此还有一个特征值为λ2=-3。
当然我们也可以用一般方法计算 ∣ A − λ E ∣ = \begin{vmatrix} A - λE \end{vmatrix} = A−λE = ∣ − 1 − λ 2 1 − 2 − λ ∣ \begin{vmatrix} -1-λ& 2 \\1 & -2-λ \end{vmatrix} −1−λ12−2−λ = λ 2 λ^2 λ2 +3λ =0
特征值 λ 2 λ_2 λ2 = −3 将会逐渐消失，因为答案中将会有一项为 e − 3 t e^{−3 t } e−3t,该项会随着时间的推移趋近于0 。答案的另一部分将有一项为 e 0 t e^{0t} e0t，该项是一个常数，其值为1，并不随时间而改变。通常含有0 特征值的矩阵会随着时间的推移达到稳态。
一阶线性微分方程的解的形式是 e λ t e^{λt} eλt。两个特征值中，1 会使结果达到稳态，而-3 所对应的 e-3t会随时间增大而变小 。
方程的通解为 U(t) = c 1 e λ 1 t X 1 c_1e^{λ_1t} X_1 c1eλ1tX1 + c 2 e λ 2 t X 2 c_2e^{λ_2t} X_2 c2eλ2tX2。
将 λ 1 λ_1 λ1 = 0， λ 2 λ_2 λ2 = −3代入( A - λI )x =0,分别求得对应的特征向量 x1= [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} [21] ,x2= [ 1 − 1 ] \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} [1−1]。
U(t) = c 1 e λ 1 t X 1 c_1e^{λ_1t} X_1 c1eλ1tX1 + c 2 e λ 2 t X 2 c_2e^{λ_2t} X_2 c2eλ2tX2 = c 1 e 0 [ 2 1 ] + c_1e^{0} \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}+ c1e0[21]+ c 2 e − 3 t [ 1 − 1 ] c_2e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} c2e−3t[1−1]
U(0) = c 1 [ 2 1 ] c_1 \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} c1[21] + c 2 e − 3 t [ 1 − 1 ] c_2e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} c2e−3t[1−1] = [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} [10],可解得 c 1 c_1 c1= c 2 c_2 c2 = 1/3。
因此 U(t) = 1 3 [ 2 1 ] \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} 31[21] + 1 3 e − 3 t [ 1 − 1 ] \frac{1}{3}e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} 31e−3t[1−1] ,前一项为稳定状态，后一项随着时间衰减。
稳定性：
在方程
d U d t \frac{dU}{dt} dtdU = Au中，矩阵 A 的状态表明不同分量之间相互耦合，而用特征值和特征向量处理进行对角化是为了解耦。令 u=Sv，其中 S 是由矩阵 A 的特征向量组成。则有：
矩阵指数函数 Matrix exponential e A t e^{At} eAt
我们可以用幂级数的公式：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + . . . . . . e^x =\sum_{n=0}^∞ {\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...... ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2x2+6x3+......
来定义矩阵型指数运算 e A t e^{At} eAt：
e A t = I + A t + ( A t ) 2 2 + ( A t ) 3 6 + . . . . . e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2}+ \frac{(At)^3}{6} + ..... eAt=I+At+2(At)2+6(At)3+.....
如果 At 的特征值很小，满足收敛条件 ∣ λ ( A t ) ∣ \begin{vmatrix} λ(At) \end{vmatrix} λ(At) <1，则可以用几何级数来定义矩阵型指数：
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n → ( I + A t ) − 1 = I + A t + ( A t ) 2 + ( A t ) 3 + . . . . . \frac{1}{1- x } = \sum_{n=0}^∞x^n \rightarrow ( I + At )^{-1} = I + At + (At)^2+ (At)^3 + ..... 1−x1=n=0∑∞xn→(I+At)−1=I+At+(At)2+(At)3+.....
前文中我们已经写出了矩阵指数函数的公式 e A t e^{ At} eAt = S e Λ t S − 1 Se^{Λt}S^{-1} SeΛtS−1 。如果矩阵 A 具有 n个线性无关的特征向量，我们可以从幂级数定义的矩阵指数公式来再次验证：
二阶微分方程 Second order differential equations
我们可以将二阶微分方程 y ′ ′ + b y ′ + k y y^{''} +by^{'} +ky y′′+by′+ky =0 转化为 2 x 2 的一阶问题进行处理，构造方法类似于我们对斐波那契数列的处理方法。
令u = [ y ′ y ] \begin{bmatrix} y^{'}\\y \end{bmatrix} [y′y] ,则有 u ′ = [ y ′ ′ y ′ ] = [ − b − k 1 0 ] [ y ′ y ] u^{'} =\begin{bmatrix} y^{''}\\y^{'} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -b & -k \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y^{'}\\y \end{bmatrix} u′=[y′′y′]=[−b1−k0][y′y]
如果是 k 阶微分方程，那么需要一个 k x k 矩阵，除了第一行和对角线下面一排斜线上的元素之外，这个系数矩阵其它元素均为 0。