高维空间的反直觉特性

文章翻译自网站：https://marckhoury.github.io/counterintuitive-properties-of-high-dimensional-space/

我们在三维世界中发展出的几何直觉在高维世界却常常是不对的。即使是简单对象的许多属性，例如高维的立方体和球体的一些特性也很违反直觉。下面我们仅讨论其中的一些特性，来初步了解高维空间的奇特的地方。

我们可能习惯于在二维中使用“circle(圆形)”一词，在三维中使用“球形（sphere）”一词。但是，在高维，我们通常只使用sphere这个词。当从上下文中无法确定球体的维度时，用d-sphere。使用此术语，对于二维空间的圆，我们称为1-sphere。三维的标准球体称为2-sphere，依此类推。这有时会引起混乱，因为d-sphere存在于(d+1)维空间。这里的d指的是球体本身的维度，而不是球体所在空间的维度。类似地，我们经常用“square(立方体)”来指一个正方形（2维），一个标准立方体（3维）及其更高维度的类似物。

逃脱的球体

考虑一个边长为1的正方形。在正方形的每个角上放置一个半径为1/2的圆，以使这些圆覆盖正方形的边。然后考虑以正方形的中心为中心的圆，这个圆与正方形角上的圆相切。显然，在二维空间，内圆完全包含在正方形中。

图1：在正方形的每个角上放置一个半径为1/2的圆。内圆刚好与角上的圆相切。

我们可以在三维上做同样的事情。在单位立方体的每个角上放置一个半径为1/2的球体，再次覆盖立方体的边。在图2中以红色显示了以立方体的中心为中心并与立方体的角点的球相切的球体。再次，我们看到在三维，内球（inner sphere）完全包含在立方体中。

图2：在三维，我们在一个立方体的八个角的每个角处放置一个球体。

要了解在更高维度上会发生什么，我们需要根据维度计算内球（inner sphere）的半径。内球的半径等于立方体对角线的长度减去角上的球体（Corner sphere）的半径。参见图3。无论在几维空间，角上的sphere的半径值始终为1/2。我们可以将对角线的长度计算为：

因此内球的半径是 注意，内球的半径随着尺寸的增加而增加！

图3：内球半径的大小随着尺寸的增加而增大，因为到角的距离增加，而角球的半径保持恒定。

如上图所示，在图2和3中，球体严格位于立方体内部。然而，在四维发生了非常有趣的事情。内球的半径正好是1/2，正好足以使内球接触立方体的侧面！在五维中，内球体的半径为0.618034，球体开始超出了立方体！按十维，半径为1.08114，球体超出了立方体外很远！

高维情况下的体积

圆面积的计算公式是, 其中r是半径。给定圆的面积方程，我们可以通过考虑球体的横截面来计算球体的体积。也就是说，我们将球体与离球心h的位置的某个平面相交。

图4：将球与平面相交得到一个圆。

球面和平面相交得到一个圆。如果我们从侧面看球体，如图5所示，可以看到这个圆的半径可以使用勾股定理（ ），所以圆的半径可以用计算。

图5：图4的侧视图。可以使用勾股定理找到由交点定义的圆的半径。

积分从球体底部到球体顶部的每个横截面的面积，得出体积：

现在我们知道了 二维球(2-sphere)的体积，我们可以用类似的方式计算3-sphere的体积。唯一的区别是，之前将积分方程式用于圆（1-sphere）的面积，现在改为将方程式用于2-sphere的体积。对d-sphere的通用体积公式近似如下：

近似是因为分母应该是Gamma function，不过这个对于后续的直觉性理解不重要。

令r=1, 观察单位d-sphere的体积与d的关系，图6是unit sphere的体积随着d的增加的变化图：

图6：随着d的增加，单位d球的体积变为0！

随着d增加，unit d-sphere的体积变成0了！一个高维的单位球基本上不占有任何空间！随着d从1到5，体积增加，然后从6维开始快速减少到0。

更准确的图形表示

看到高维立方体和球体的这种反直觉的属性，下面这种图形可能更加符合高维空间的表达。

图7：高维立方体（左）和球体（右）的更准确的图形表示。

可以看到立方体的角比边更加远离中心，d-spheres绘制成具有半径1但是几乎不包含任何体积。此图像还暗示了高维球体的下一个反直觉特性。

测量集中

假设想在单位球的赤道周围取一段区间/带（a band），以便使该球的表面积的99％落在该区间内。参见图8，那么这个区间应该有多宽？

图8：在二维图中，围绕赤道的带的宽度必须非常大，以包含99％的周长

在二维中，区间宽度必须非常大，实际上要接近2，才能捕捉到单位圆周长的99％。但是，随着维度的增加，捕获99％表面积所需的区间宽度会变小。在非常高的空间中，几乎球体的所有表面积都离赤道只有很小的距离！

图9：随着尺寸的增加，捕获99％表面积所需区间度迅速减小。高维球体的几乎所有表面积都位于赤道附近。

考虑二维情况来直觉式地理解一下，如图10所示。在圆上，y坐标必须很小才能靠近赤道。

图10：赤道附近的点的y坐标较小。

随着尺寸的增加，坐标值会怎样？图11是从一个d-sphere均匀采样的20000个随机点。随着d增加，值变得越来越集中在0附近（这个最好去看原文，原文是个动图高维的gif图https://marckhoury.github.io/assets/images/Figure11.gif）。

图11：随着尺寸的增加，坐标变得越来越集中在0附近。

回想一下， d-sphere必须满足以下方程: 。显然d增加，公式里的项数增加，那么每个平均就会更小来满足上面这个等式成立。

真正奇怪的是，悬着任何一条“赤道”都有效！由于球是对称的，我们可以很容易地选择图12中所示的任何一个。

图12：任何选择的赤道效果都一样！

接吻数（kissing numbers）

考虑平面中的单位圆，如图13中红色所示。如果蓝色圆圈刚好碰到红色圆圈，我们就称它会亲吻红色圆圈。接吻数（kissing numbers）是可以同时亲吻红色圆圈的不重叠蓝色圆圈的最大数量。

图13：二维的接吻数是六个。

在二维上，很容易看到接吻数为6。整个证明如图14所示。反证法：假设有六个以上不重叠的蓝色圆圈可以同时亲吻红色圆圈。我们从红色圆圈的中心到蓝色圆圈的中心画边，如图14所示。这些边之间的夹角必须总和为360度。由于存在六个以上的这种夹角，因此至少有一个夹角小于60。又如图14所示，三角形是等腰三角形。小于60度的边必须严格小于其他两个边，即必须小于2r。因此，两个蓝色圆的中心连线小于2r，则两个蓝色圆圈一定是重叠的，得出了和定义的矛盾。

图14：证明接吻数在二维中为6的证明。如果有六个以上的蓝色圆圈可以亲吻红色，则其中一个角度必须小于60度。因此，形成该角度的两个蓝色圆圈必须重叠，这是一个矛盾。

在三维接吻数是12，不太容易看出来。确实，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）认为接吻数是12（正确），大卫·格里高利（David Gregory）认为是13（错误）。从下面这个最优解中，很容易理解为什么格雷戈里认为在第12个球体之间的空间中可以容纳第13个球体。随着尺寸的增加，相邻球体之间的空间突然变大了，问题变得更难。

图15: 3维的接吻数是12

实际上，只有很少几个维度，我们能确切地知道接吻数。在大多维度空间中，我们只能获得节温书的上限和下限，而上下限可能相差几千个！

我们仅确切地知道1到4、8和24维的接吻数。八维和二十四维的情况来自特殊的晶格结构，这些已知结构可以提供最佳的排布方式。在八维中，接吻数为240，由 提供。在二十四维，接吻数为196560，是Leech lattice结构。