LeetCode刷题--- 三步问题

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前言：这个专栏主要讲述动态规划算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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三步问题

题目链接：三步问题
题目

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

示例2:

 输入：n = 5
 输出：13

提示:

1. n范围在[1, 1000000]之间

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解法

题目解析

题目意思很简单

1. 有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶。
2. 小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。
3. 实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。
4. 结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

例如：

示例1:

 输入：n = 3 
 输出：4
 说明: 有四种走法

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算法原理讲解

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

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1.状态表示

这道题可以根据「经验 + 题⽬要求」直接定义出状态表⽰：

dp[i] 表⽰：到达 i 位置时，⼀共有多少种⽅法。

2.状态转移⽅程

以 i 位置状态的最近的⼀步，来分情况讨论：

如果 dp[i] 表示小 孩上第 i 阶楼梯的所有⽅式，那么它应该等于所有上⼀步的⽅式之和

• 上⼀步上⼀级台阶， dp[i] += dp[i - 1] ；
• 上⼀步上两级台阶， dp[i] += dp[i - 2] ；
• 上⼀步上三级台阶， dp[i] += dp[i - 3] ；

综上所述， dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3] 。需要注意的是，这道题⽬说，由于结果可能很⼤，需要对结果取模。在计算的时候，三个值全部加起来再取模，即 (dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]) % MOD 是不可取的，同学们可以试验⼀下， n 取题⽬范围内最⼤值时，⽹站会报错 signed integer overflow 。 对于这类需要取模的问题，我们每计算⼀次（两个数相加/乘等），都需要取⼀次模。否则，万⼀ 发⽣了溢出，我们的答案就错了。

3.初始化

从我们的递推公式可以看出， dp[i] 在 i = 0, i = 1 以及 i = 2 的时候是没有办法进⾏推导的，因为 dp[-3] dp[-2] 或 dp[-1] 不是⼀个有效的数据。因此我们需要在填表之前，将 1, 2, 3 位置的值初始化。根据题意， dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4 。

4.填表顺序

毫⽆疑问是「从左往右」。

5.返回值

应该返回 dp[n] 的值

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代码实现

class Solution 
{
public:
    int waysToStep(int n) 
    {

        const int MOD = 1e9 + 7;
        // 1.创建dp表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值
        if (n == 1)     return 1;
        if (n == 2)     return 2;
        if (n == 3)     return 4;

        vector dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;
        for (int i = 4; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD + dp[i - 3]) % MOD;
        }

        return dp[n];
    }
};