星与星熙.

第三部分连续型需要的积分

目录

温馨提示：

求积分

求分段函数在确定区间的定积分

方法：

例1

例2

例3

例4

例5

例6

例7

求分段函数在到未知数的定积分

方法：

例8

求简单的二重积分

方法：

例9

例10

例11

求f(x,y)的二重积分

方法：

例12

例13

例14

温馨提示：

因为接下来的学习要用到积分，所以在这里补充一节，如果高等数学学的不错可以跳过本节

求积分

求分段函数在确定区间的定积分

方法：

①画出待求积分的上下限区域
②根据f不同的取值范围，将区域分成几段

③令待求积分=第一段区域积分+第二段区域积分+...

例1

已知，试求 $\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx$

解

根据取值范围来看分成两个部分，所以积分需要分两个部分求

[0,1)区间为1，其他区间为0
$\int_{0}^{2}f_{x}(x)dx$ $=\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1}^{2}f_{x}(x)dx$

$=\int_{0}^{1}1dx+\int_{1}^{2}0dx$

$=x|_{x=0}^{x=1}+0$

例2

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}xf_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}xf_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}xf_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}x0dx+\int_{0}^{1}x1dx+\int_{1 }^{+\infty}x0dx$

   $=0+(\frac{1}{2}x^2)|_{x=0}^{x=1}+0$

   $=0+(\frac{1}{2}\times 1^{2}-\frac{1}{2}\times 0^{2})+0$

   $=\frac{1}{2}$

例3

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx$

解
$\int_{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}x^{2}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}f_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}x^{2}0dx+\int_{0}^{1}x^{2}1dx+\int_{1 }^{+\infty}x^{2}0dx$

   $=0+(\frac{1}{3}x^3)|_{x=0}^{x=1}+0$

   $=0+(\frac{1}{3}\times 1^{3}-\frac{1}{3}\times 0^{3})+0$

                             $=\frac{1}{3}$

例4

已知，试求 $\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{+\infty }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{+\infty}f_{x}(x)dx$

   $=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}adx+\int_{1 }^{+\infty}0dx$

   $=0+(ax)|_{x=0}^{x=1}+0$

                         $=0+(a\times 1-a\times 0)+0$

例5

已知，2y<0,试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{2y }0dx=0$

例6

已知，0≤2y＜1，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0 }^{2y}f_{x}(x)dx$

$=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0 }^{2y}1dx$

$=0+x|_{x=0}^{x=2y}$

例7

已知，2y≥1，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解

$\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$ $=\int_{-\infty }^{0}f_{x}(x)dx+\int_{0}^{1}f_{x}(x)dx+\int_{1 }^{2y}f_{x}(x)dx$

                         $=\int_{-\infty }^{0}0dx+\int_{0}^{1}1dx+\int_{1 }^{2y}0dx$

                         $=0+x|_{x=0}^{x=1}+0$

求分段函数在 $-\infty$ 到未知数的定积分

方法：

①画出f式子不同式子的范围
②设积分上限∈第一个范围，求积分

设积分上限∈第二个范围，求积分

设积分上限∈第三个范围，求积分

......

③将各种情况结果汇总在一个大括号里

例8

已知，试求 $\int_{-\infty }^{2y }f_{x}(x)dx$

解
设2y<0，得0 根据例5

设0≤2y<1，得2y 根据例6

设2y≥1，得1 根据例7

求简单的二重积分

方法：

①找出区域边缘的转折点
②过转折点作竖线，将区域切割成区域1、区域2

积分=区域1的积分+区域2的积分+...

③利用下面公式求出每个积分

例9

求 $\int \int 1dxdy$

解

积分=区域1+区域2

区域1积分 $=\int_{0.5}^{1}(\int_{0.5}^{x}1dy)dx$

                 $=\int_{0.5}^{1}(y|_{y=0.5}^{y=x})dx$

                 $=\int_{0.5}^{1}(x-0.5)dx$

                 $=(\frac{1}{2}x^{2}-0.5x)|_{x=0.5}^{x=1}$

                 $=(\frac{1}{2}\times 1^{2}-0.5\times 1)-(\frac{1}{2}\times 0.5^{2}-0.5\times 0.5)$

   $=\frac{1}{8}$

区域2积分 $=\int_{1}^{1.5}(\int_{0.5}^{2-x}1dy)dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(y|_{y=0.5}^{y=2-x})dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(2-x-0.5)dx$

                 $=\int_{1}^{1.5}(1.5-x)dx$

                 $=(1.5x-\frac{1}{2}x^{2})|_{x=1}^{x=1.5}$

                 $=(1.5\times1.5- \frac{1}{2}\times 1.5^{2})-(1.5\times 1-\frac{1}{2}\times 1^{2})$

   $=\frac{1}{8}$

积分 $=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

例10

求 $\int \int xydxdy$

本题求三角形包裹区域

解

区域1积分 $=\int_{0}^{1}(\int_{0}^{x}xydy)dx$

                 $\because\frac{\partial (\frac{1}{2}xy^{2})}{\partial y}=xy \therefore \int xydy=\frac{1}{2}xy^{2}$

                 $=\int_{0}^{1}[\frac{1}{2}xy^{2}|_{y=0}^{y=x}]dx$

                 $=\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}xx^{2}-\frac{1}{2}x0^{2})dx$

                 $=\int_{0}^{1}x^{3}dx$

                 $=(\frac{1}{8}x^{4})|_{x=0}^{x=1}$

                 $=\frac{1}{8}\times1^{4}-\frac{1}{8}\times0^{4}$

                 $=\frac{1}{8}$

区域2积分 $=\int_{1}^{2}(\int_{0}^{2-x}xydy)dx$

$=\int_{1}^{2}[(\frac{1}{2}xy^{2})|_{y=0}^{y=x-2}]dx$

                 $=\int_{1}^{2}[\frac{1}{2}x(2-x)^{2}-\frac{1}{2}x0^{2}]dx$

                 $=\int_{1}^{2}(\frac{1}{2}x^{3}-2x^{2}+2x)dx$

   $=(\frac{1}{8}x^{4}-\frac{2}{3}^{3}+x^{2})|_{x=1}^{x=2}$

                 $=\frac{2}{3}-\frac{11}{24}$

                 $=\frac{5}{24}$

积分 $=\frac{1}{8}+\frac{5}{24}=\frac{1}{3}$

例11

求 $\int \int kxydxdy$

本题求被包裹的右边区域

解

$\because\frac{\partial (\frac{kxy^{2}}{2})}{\partial y}=kxy \therefore \int xydy=\frac{kxy^{2}}{2}$

$\int \int kxydxdy$

$=\int_{0}^{1}[\frac{kxy^{2}}{2}|_{y=x^{2}}^{y=1}]dx$

$=\int_{0}^{1}[\frac{kx1^{2}}{2}-\frac{kx(x^{2})^{2}}{2}]dx$

$=\int_{0}^{1}(\frac{k}{2}x-\frac{k}{2}x^{5})dx$

$=(\frac{k}{4}\times1^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})-(\frac{k}{4}\times0^{2}-\frac{k}{12}\times1^{6})$

$=\frac{k}{6}$

求f(x,y)的二重积分

方法：

①找出1.f(x,y)的非零式子的范围 1和2的重合区域

2.待求积分的区域
②用重合区域替代积分区域，用f(x,y)的非零式子替换积分里的f(x,y)

例12

设区域G如下图所示，(X,Y)的概率密度为

，求 $\int \int f(x,y)dxdy$ ,满足y>0.5的区域

解

非零区域为(x,y)∈G

求的区域为y>0.5区域

替换f(x,y)为1

变为 $\int \int 1dxdy$ $=\frac{1}{4}$ 例9

例13

设区域G如下图所示，(X,Y)的概率密度为

求 $\int \int xyf(x,y)dxdy$ ,其中 $-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$ ，求以下区域

解

非零区域为(x,y)∈G
替换f(x,y)为1
$\int \int xy1dxdy=\frac{1}{3}$ 例10

例14

设求 $\int \int (x,y)dxdy$ , $-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$

解
$\int \int kxydxdy$ $=\frac{k}{6}$ 例11

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Java|urlrewrite|URL重写|多个参数 7454103 java xml Web 工作
个人工作经验！如有不当之处，敬请指点 1.0 web -info 目录下建立 urlrewrite.xml 文件类似如下： <?xml version="1.0" encoding="UTF-8" ?> <!DOCTYPE u
达梦数据库+ibatis darkranger sql mysql ibatis SQL Server
--插入数据方面如果您需要数据库自增... 那么在插入的时候不需要指定自增列. 如果想自己指定ID列的值, 那么要设置 set identity_insert 数据库名.模式名.表名; ----然后插入数据; example: create table zhabei.test( id bigint identity(1,1) primary key, nam
XML 解析四种方式 aijuans android
XML现在已经成为一种通用的数据交换格式,平台的无关性使得很多场合都需要用到XML。本文将详细介绍用Java解析XML的四种方法。 XML现在已经成为一种通用的数据交换格式,它的平台无关性,语言无关性,系统无关性,给数据集成与交互带来了极大的方便。对于XML本身的语法知识与技术细节,需要阅读相关的技术文献,这里面包括的内容有DOM(Document Object
spring中配置文件占位符的使用 avords
1.类 <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?><!DOCTYPE beans PUBLIC "-//SPRING//DTD BEAN//EN" "http://www.springframework.o
前端工程化-公共模块的依赖和常用的工作流 bee1314 webpack
题记：一个人的项目，还有工程化的问题嘛？我们在推进模块化和组件化的过程中，肯定会不断的沉淀出我们项目的模块和组件。对于这些沉淀出的模块和组件怎么管理？另外怎么依赖也是个问题？你真的想这样嘛？ var BreadCrumb = require(‘../../../../uikit/breadcrumb’); //真心ugly。
上司说「看你每天准时下班就知道你工作量不饱和」，该如何回应？ bijian1013 项目管理沟通 IT职业规划
问题：上司说「看你每天准时下班就知道你工作量不饱和」，如何回应正常下班时间6点，只要是6点半前下班的，上司都认为没有加班。 Eno-Bea回答，注重感受，不一定是别人的虽然我不知道你具体从事什么工作与职业，但是我大概猜测，你是从事一项不太容易出现阶段性成果的工作
TortoiseSVN，过滤文件征客丶 SVN
环境： TortoiseSVN 1.8 配置：在文件夹空白处右键选择 TortoiseSVN -> Settings 在 Global ignote pattern 中添加要过滤的文件：多类型用英文空格分开 *name ：过滤所有名称为 name 的文件或文件夹 *.name ：过滤所有后缀为 name 的文件或文件夹 --------
【Flume二】HDFS sink细说 bit1129 Flume
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The Eight Myths of Erlang Performance bookjovi erlang
erlang有一篇guide很有意思： http://www.erlang.org/doc/efficiency_guide 里面有个The Eight Myths of Erlang Performance： http://www.erlang.org/doc/efficiency_guide/myths.html Myth: Funs are sl
java多线程网络传输文件(非同步)-2008-08-17 ljy325 java 多线程 socket
利用 Socket 套接字进行面向连接通信的编程。客户端读取本地文件并发送；服务器接收文件并保存到本地文件系统中。使用说明:请将TransferClient, TransferServer, TempFile三个类编译，他们的类包是FileServer. 客户端: 修改TransferClient: serPort, serIP, filePath, blockNum,的值来符合您机器的系
读《研磨设计模式》-代码笔记-模板方法模式 bylijinnan java 设计模式
声明：本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ import java.sql.Connection; import java.sql.DriverManager; import java.sql.PreparedStatement; import java.sql.ResultSet;
配置心得 chenyu19891124 配置
时间就这样不知不觉的走过了一个春夏秋冬，转眼间来公司已经一年了，感觉时间过的很快，时间老人总是这样不停走，从来没停歇过。作为一名新手的配置管理员，刚开始真的是对配置管理是一点不懂，就只听说咱们公司配置主要是负责升级，而具体该怎么做却一点都不了解。经过老员工的一点点讲解，慢慢的对配置有了初步了解，对自己所在的岗位也慢慢的了解。做了一年的配置管理给自总结下： 1.改变从一个以前对配置毫无
对“带条件选择的并行汇聚路由问题”的再思考 comsci 算法工作软件测试嵌入式领域模型
2008年上半年，我在设计并开发基于”JWFD流程系统“的商业化改进型引擎的时候，由于采用了新的嵌入式公式模块而导致出现“带条件选择的并行汇聚路由问题”(请参考2009-02-27博文)，当时对这个问题的解决办法是采用基于拓扑结构的处理思想，对汇聚点的实际前驱分支节点通过算法预测出来，然后进行处理，简单的说就是找到造成这个汇聚模型的分支起点，对这个起始分支节点实际走的路径数进行计算，然后把这个实际
Oracle 10g 的clusterware 32位下载地址 daizj oracle
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非常好的介绍：Linux定时执行工具cron dongwei_6688 linux
Linux经过十多年的发展，很多用户都很了解Linux了，这里介绍一下Linux下cron的理解，和大家讨论讨论。cron是一个Linux 定时执行工具，可以在无需人工干预的情况下运行作业，本文档不讲cron实现原理，主要讲一下Linux定时执行工具cron的具体使用及简单介绍。新增调度任务推荐使用crontab -e命令添加自定义的任务（编辑的是/var/spool/cron下对应用户的cr
Yii assets目录生成及修改 dcj3sjt126com yii
assets的作用是方便模块化，插件化的，一般来说出于安全原因不允许通过url访问protected下面的文件，但是我们又希望将module单独出来，所以需要使用发布，即将一个目录下的文件复制一份到assets下面方便通过url访问。 assets设置对应的方法位置 \framework\web\CAssetManager.php assets配置方法在m
mac工作软件推荐 dcj3sjt126com mac
mac上的Terminal + bash ＋ screen组合现在已经非常好用了，但是还是经不起iterm＋zsh＋tmux的冲击。在同事的强烈推荐下，趁着升级mac系统的机会，顺便也切换到iterm＋zsh＋tmux的环境下了。我为什么要要iterm2 切换过来也是脑袋一热的冲动，我也调查过一些资料，看了下iterm的一些优点： * 兼容性好，远程服务器 vi 什么的低版本能很好兼
Memcached(三)、封装Memcached和Ehcache frank1234 memcached ehcache spring ioc
本文对Ehcache和Memcached进行了简单的封装，这样对于客户端程序无需了解ehcache和memcached的差异，仅需要配置缓存的Provider类就可以在二者之间进行切换，Provider实现类通过Spring IoC注入。 cache.xml <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
Remove Duplicates from Sorted List II hcx2013 remove
Given a sorted linked list, delete all nodes that have duplicate numbers, leaving only distinct numbers from the original list. For example,Given 1->2->3->3->4->4->5,
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工作中用到的MySQL可能安装在两种操作系统中，即Windows系统和Linux系统。以Linux系统中情况居多。安装在Windows系统时与其它Windows应用程序相同按照安装向导一直下一步就即，这里就不具体介绍，本文档只介绍Linux系统下MySQL的安装步骤。 Linux系统下安装MySQL分为三种：RPM包安装、二进制包安装和源码包安装。二
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1 实例解析由于业务需求需要对表中的数据进行分组后进行合并的处理，鉴于Oracle10g没有现成的函数实现该功能，且该功能如若用JAVA代码实现会比较复杂，因此，特将SQL语言的实现方式分享出来，希望对大家有所帮助。如下：表test 数据如下： ID,SUBJECTCODE,DIMCODE,VALUE 1&nbs
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Spring 注解的定时任务，有如下两种方式：第一种： <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?> <beans xmlns="http://www.springframework.org/schema/beans" xmlns:xsi="http
11大Java开源中文分词器的使用方法和分词效果对比 yangshangchuan word分词器 ansj分词器 Stanford分词器 FudanNLP分词器 HanLP分词器
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