分析力学基本原理介绍7.4：循环坐标和守恒定理

根据之前的内容我们了解到，循环坐标所对应的共轭动量守恒：

使用拉格朗日方程和哈密顿方程，我们也可以得到相同的结论：

所以，共轭于正则动量的坐标如果是循环坐标：

我们发现，拉格朗日函数若不含有循环坐标，哈密顿函数将同样不含有该坐标。换句话说，如果某一广义坐标没有显性出现在哈密顿函数中，其对应的正则动量将是一个守恒量。所有之前关于拉格朗日体系的守恒定理均可原封不动地（除了把替换成）应用在哈密顿体系中。

至于能量守恒，我们在拉格朗日体系中时了解过能量函数。若系统的拉格朗日函数不显含时间，系统的哈密顿函数将是一个不依赖时间的常数。

该结论也可通过直接求哈密顿函数对时间的全导得到：

$\begin{align*}\frac{d\mathscr{H}}{dt} &= \sum_i\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}\dot{q_i} + \sum_i\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}\dot{p_i} + \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial t}\\&= \sum_i-\dot{p_i}\dot{q_i} + \sum_i\dot{q_i}\dot{p_i} + \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}\end{align*}$

又因为

于是

所以，如果拉格朗日函数不含有时间，那么哈密顿函数也将同样不显含时间。

关于哈密顿函数的形式，在之前也同样提到过：如果涉及到广义坐标的变换方程不显含时间，并且势函数不依赖广义速度，哈密顿函数将同样具有总能量的形式。但需要注意的是，哈密顿函数是否表示总能量，于其是否为守恒量完全是两个概念。两个概念彼此并不冲突，一个条件被满足并不意味着另一个就会被满足。即，有些情况下，哈密顿函数不显含时间，但不具有总能量的形式。

除此之外，我们知道，广义坐标的选取不会影响到拉格朗日函数最后的数值大小（尽管可能改变它的形式，即不再是）；与拉格朗日函数不同，哈密顿函数的数值大小和形式都取决于广义坐标的选取。也就是说，很多时候，哈密顿函数完全有可能在一组广义坐标下守恒，而在另一组却不守恒；在一组坐标下具有形式，而在另一组却不具有总能量的形式。

（例）

为了更进一步理解哈密顿函数这一特点，让我们来看一个很简单的例子：

一个质量为的质点，被连接在一根劲度系数为的弹簧一端；弹簧另一端被固定在了一个，在外力驱动下，沿轴以常速度水平移动的小车上。

为了方便，我们将原点选为小车在的位置，并将质点的水平位置选为广义坐标。

很明显，拉格朗日函数为：

运动方程由拉格朗日方程得到：

解该运动方程，设地面参考系为，不妨另选一个参考系，它相对地面参考系具有速度，即，该参考系与小车保持相对静止。

使用伽利略变换：

这样一来，运动方程就变为了：

这是一个二阶线性齐次微分方程。

令，特征方程变为：

它有两个复根：，

利用欧拉恒等式，通解可以表示为三角函数的形式：

；，，

可见，对于小车保持相对静止的观测者而言（坐在小车上），质点只是单纯地在做简谐振荡，而这一结论也同样符合伽利略相对论原理。

了解了该系统的大致运动情况，我们来看看哈密顿函数。

由于这时的广义坐标是笛卡尔坐标，势函数不显含广义速度，所以哈密顿函数将具有总能量的形式：

可见，这种情况下的哈密顿函数虽然代表总能量，但由于显含时间，所以并不是一个守恒量。原因在于，能量必须时刻流入并流出系统，来保证小车始终能够克服谐振子的运动并保持匀速。（系统内部存在一个非定常约束，此时的约束力做实功）。

如果一开始就使用参考系，拉格朗日将变成：

$\begin{align*}\mathscr{L}(x^{\prime},\dot{x^{\prime}}) &= \frac{m}{2}(\dot{x^{\prime}} + v_0)^2 - \frac{k}{2}(x^{\prime})^2\\&= \frac{m}{2}(\dot{x^{\prime}})^2 + m\dot{x^{\prime}}v_0 + \frac{m}{2}v_0^2 - \frac{k}{2}(x^{\prime})^2\end{align*}$

其中是拉式函数对速度的二阶项；是速度的一阶项；包括了速度的零阶项以及常数项。

由于具备了充足条件，可将拉式函数用矩阵形式表示：

其中，，。

于是可以直接使用下面表达式，得到哈密顿函数：

$\begin{align*}\mathscr{H}(x^{\prime},p^{\prime},t) &= \frac{1}{2}(\mathbf{\dot{p}}^{\rm{t}} - \mathbf{\dot{a}}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{\dot{p}} - \mathbf{\dot{a}}) - \mathscr{L}_0(x,t)\\&= \frac{1}{2m}(p^{\prime} - mv_0)^2 + \frac{k}{2}(x^{\prime})^2 - \frac{m}{2}v_0^2\end{align*}$

注意：最后一项既不含坐标也不含速度，所以即便被舍去也不会对最后的运动方程造成任何影响。

可见，该情况下的哈密顿函数并不代表总能量，但由于其不显含时间，所以是一个守恒量。

总结

上述的例子证明了哈密顿函数不同于拉格朗日函数的一点。面对同一个系统，通过使用不同的参考系，我们得到了两组完全不同的哈密顿函数，这两组函数在数值上，时间依赖以及函数变化上均不相同。即便哈密顿函数深受广义坐标选取的影响，最后得到的运动方程始终都会是同一个，所以作为使用者的我们，更关心的该是如何选择一组广义坐标能够使得计算量达到最小才对。

分析力学基本原理介绍7.4：循环坐标和守恒定理

总结

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