算法第十三天-解码方法

解码方法

题目要求

算法第十三天-解码方法_第1张图片
算法第十三天-解码方法_第2张图片

解题思路

来自【宫水三叶】

基本分析

我们称一个解码内容为一个item
根据题意,每个item可以由一个数字组成,也可以由两个数字组成。
数据范围为100,很具有迷惑性,可能会有不少同学会想使用DFS进行暴力搜索。
我们可以大致分析一下这样子的做法是否可行:不失为一般性的考虑字符串s中的任意位置i,位置i既可以作为一个独立item,也可以与上一位置组成新item,那么相当于每个位置都有两种分割选择(先不考虑分割结果的合法性问题),这样子做法的复杂度是 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n)的,当n范围是100时,远超我们计算机单秒运算量 ( 1 0 7 ) (10^7) (107)。及时我们将[判断分割结果是否合法]的操作放到暴力搜索过程中做剪枝,也与我们的单秒运算量相差很远。
递归的方法不可行,我们需要考虑递推的解法。

动态规划

这其实时一道字符串类的动态规划题,不难发现对于字符串s的某个位置i而言,我们只关心[位置i自己能否形成独立item]和[位置i能够与上一位置(i-1)能否形成item],而不关心i-1之前的位置。

有了以上分析,我们可以从前往后处理字符串s,使用一个数组记录以字符串s的每一位作为结果的解码方案数。即定义 f [ i ] f[i] f[i]为考虑前i个字符的解码方案数。
对于字符串s的任意位置i而言,其存在三种情况:

  • 只能由位置i的单独作为一个item,设为a,转移的前提是a的数值范围为[1,9],转移逻辑为f[i] = f[i-1].
  • 只能由位置i的与前一位置(i-1)共同作为一个item,设为b,转移的前提时b的数值范围为[10,26],转移逻辑为f[i] = f[i-2]
  • 位置i既能作为独立item也能与上一位置形成item,转移逻辑为f[i] = f[i-1] +f[i-2]
    因此,我们有如下转移方程:
    { f [ i ] = f [ i − 1 ] , 1 ≤ a ≤ 9 f [ i ] = f [ i − 2 ] , 10 ≤ b ≤ 26 f [ i ] = f [ i − 1 ] + f [ i − 2 ] , 1 ≤ a ≤ 9 , 10 ≤ b ≤ 26 \left\{\begin{aligned} f[i] = f[i-1],1\le a \le 9\\ f[i] = f[i-2],10\le b \le 26\\ f[i] = f[i-1]+f[i-2],1\le a \le 9,10\le b \le 26\\ \end{aligned} \right. f[i]=f[i1],1a9f[i]=f[i2],10b26f[i]=f[i1]+f[i2],1a9,10b26
    其他细节:由于本题存在前导零,而前导零属于无效item。可以进行特判,但个人习惯往字符串头部追加空格作为哨兵,追加空格既可以避免讨论前导零,也能使下标从1开始,简化f[i-1]等负数下标的判断。

代码

class Solution:
    def numDecodings(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        s = ' ' + s
        f =[0] *(n+1)
        f[0]=1
        for i in range(1,n+1):
            a = ord(s[i])-ord('0')
            b = (ord(s[i-1]) -ord('0')) * 10 + ord(s[i])-ord('0')
            if 0<a<=9:
                f[i] =f[i-1]
            if 10<=b<=26:
                f[i] +=f[i-2]
        return f[n]

复杂度分析

时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

空间优化

不难发现,我们转移f[i]时只依赖f[i-1] 和 f[i-2]两个状态。因此我们可以采用与[滚动数组]类似的思路,只创建长度为3的数组,通过取余的方式来复用不再需要的下标。

代码

class Solution:
    def numDecodings(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        s = ' ' + s
        f = [0] * 3
        f[0] = 1
        for i in range(1,n + 1):
            f[i % 3] = 0
            a = ord(s[i]) - ord('0')
            b = ( ord(s[i - 1]) - ord('0') ) * 10 + ord(s[i]) - ord('0')
            if 1 <= a <= 9:
                f[i % 3] = f[(i - 1) % 3]
            if 10 <= b <= 26:
                f[i % 3] += f[(i - 2) % 3]
        return f[n % 3]

复杂度分析

时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)

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