01背包问题 从暴力到动态规划

1.什么是背包问题？

具体题目

最基本的背包问题就是01背包问题（01 knapsack problem）：一共有N件物品，第i（i从1开始）件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。在总重量不超过背包承载上限W的情况下，能够装入背包的最大价值是多少？

百度百科

背包问题（Knapsack problem）是一种组合优化的NP完全（NP-Complete，NPC）问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。NPC问题是没有多项式时间复杂度的解法的，但是利用动态规划，我们可以以伪多项式时间复杂度求解背包问题。

2.背包问题有哪些类型？

 01背包：每个物品只可以使用一次，有且只有两种情况，要么放入背包，要么不放。

完全背包：商品数量是无限制的，可以向包中放入相同的多个物品。

多重背包：不同的物品，数量是不同的。（01 + 完全背包 的 结合体）。

3.如何用暴力的方式处理背包问题？

  通过上面对背包问题的理解之后，发现背包问题的核心就是:

•        选出物品
•        是否能放入背包 + 价值的判断 

而要满足这两个核心的业务，采用回溯算法（组合问题）加上一些额外的校验就可以解决这个问题了，而回溯算法其实就是暴力搜索。

4.回溯的思路是什么？

        假设有m个物品，先找出这m个物品所有可能的组合，然后再对这些组合判断是否能放入背包以及是否是最大价值。比如有A, B, C三个物品，所有可能的组合是A, B, C, AB, AC, BC, ABC。这其实就是数学中的组合问题了，所以首先要解决的就是如何求出m个物品的所有组合。

假设我们想在长度为n的字符串中求m个字符的组合。我们先从头扫描字符串的第一个字符。针对第一个字符，我们有两种选择：

1. 把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选取m-1个字符；
2. 不把这个字符放到组合中去，接下来我们需要在剩下的n-1个字符中选择m个字符。

public class packagePro {


    public static void main(String[] args) {
        //初始化的数据
        char num[] = new char[]{'a', 'b', 'c', 'd'};
        //存储选出来的数据
        List stack = new ArrayList<>();
        List> res = new ArrayList<>();
        //因为要 挨个取出来，做出是否放入背包的校验
        for (int i = 1; i <= num.length; i++) {
        combine(num, 0, i, stack, res);
        }

        for (List characters : res) {
            System.out.println(characters.toString());
        }
    }

    /**
     * 从一个n个元素的数组中取出m个元素，有多少种取法
     * 从字符数组chs 中第begin个字符开始挑选number个字符加入stack中
     *
     * @param chs    字符数组
     * @param begin  第begin个字符开始
     * @param number 挑选number
     * @param stack
     */
    public static void combine(char[] chs, int begin, int number, List stack, List> res) {
        //不挑选，结束
        if (number == 0) {
            res.add(new ArrayList(stack));
            return;
        }
        //开始指针，走到末尾，结束
        if (begin == chs.length) {
            return;
        }
        //放入背包
        stack.add(chs[begin]);
        combine(chs, begin + 1, number - 1, stack, res);
        //不放入背包
        stack.remove(stack.size() - 1);
        combine(chs, begin + 1, number, stack, res);
    }
}

5.暴力解决的代码

背包容量：4

3样物品：A（30元，4千克）、B（20元，3千克）、C（15元，1千克）。

通过上面的组合代码实现，发现回溯的核心问题就在于是否放入背包的选择，那么我们在放入的同时计算价值，最终产生如下代码。

public class bag01 {
    //背包最大数量
    static int bagMax = 4;
    //物品价值
    static int values[] = {30, 20, 15};
    //物品重量
    static int weights[] = {4, 3, 1};
    //物品数量
    static int N = weights.length;

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("最终背包中的最大价值为："+bagProblem(N - 1, bagMax));
    }

    /**
     * @param i      处理到第i件物品
     * @param bagMax 剩余的空间为
     * @return 最大价值是多少
     */
    public static int bagProblem(int i, int bagMax) {
        int maxValue = 0;

        //如果没有东西可以放入
        if (i == -1) {
            return 0;
        }

        //如果剩余空间大于所放的物品
        if (bagMax >= weights[i]) {
            //放第i件
            int value1 = bagProblem(i - 1, bagMax - weights[i]) + values[i];
            //不放第i件
            int value2 = bagProblem(i - 1, bagMax);
            maxValue = Math.max(value1, value2);
        }
        return maxValue;
    }
}

上述代码执行结果为：

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