矩阵的满秩分解

参考资料

https://wenku.baidu.com/view/da5a1f14f18583d049645976.html?re=view

今天看SVD（奇异值分解），讲到了满秩分解，我查阅了一下资料，顺便做一下笔记。

定理

设 A∈Cm×nr ，那么存在 B∈Cm×rr,C∈Cr×nr ，使得：A=BC；其中B为列满秩矩阵，C为行满秩矩阵；这样的分解为矩阵的满秩分解。

证明1

因为 rank(A)=r ,所以A有r个线性无关的列向量 ai1,ai2,ai3,…,air ，记作 F=(ai1,ai2,ai3,…,air) ，而A的所有列向量均可由他们线性表示，即存在 r×n 的矩阵G，使得A=FG，显然 F∈Cm×rr ,又 r=rank(A)=rank(FG)≤rank(G)≤r ,即 rank(G)=r

证明2

因为A的秩为r ，所以由等价分解原理可知，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=(Er000) ；令 F=P−1(Er0)，G=(Er0)Q−1 ，其中设 B=(Er0) ，则 F=P−1B 。则 F 为m×r列满秩矩阵， G 为r×n行满秩矩阵，故结论成立。