递归问题示例

斐波那契数列

$$\begin{array}{r}f(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 1& n=2\\ f(n-1)+f(n-2)& n>2\end{array}\\ 1,1,2,3,5,8...\end{array}$$

上楼梯问题

一共有 n 个台阶，一次可以上 1 或 2 个台阶，请问有多少种走法？

（1）当 $n=1$ 时，$f(1)=1$

（2）当 $n=2$ 时，$f(1)=2,\begin{array}{r}1+1\\ 2\end{array}$

（3）假设已知 $f(n-1),f(n-2)$，则$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

到达第n级楼梯的方式可以从第n-1级楼梯一步走上来，也可以从第n-2级楼梯两步走上来

int f(int n){
    if(n<3)return n;
    return f(n-1)+f(n-2);
}
// 优化
vector<int> v;
int f(int n){
    if(n<3)return n;
    
    if (v.size() >= (n-2)) {
        return v.at(n-3);
    }
    v.push_back(f(n-1)+f(n-2));
    return v.back();
}
// 非递归
int g(int n){
    if(n<3)return n;
    queue<int> Q;
    Q.push(1);
    Q.push(2);
    for(int i=0;i<n-2;i++){
        int a = Q.front();
        Q.pop();
        int b=Q.front();
        Q.push(a+b);
    }return Q.back();
}

hanoi塔

1. 把上面 n-1 个盘子移动到 B

2. 只有一个盘子时，直接从 A 移到 C

3. 把 B 的 n-1 个盘子也移到 C

void move(int n, char a, char c){
    printf("%d: %c -> %c\n", n, a, c);
}
void hanoi(int n, char a, char b, char c){
    if(n>1){
        hanoi(n-1, a, c, b);
        move(n, a, c);
        hanoi(n-1, b, a, c);
    }else{
        move(n, a, c);
    }
}