【数学建模】Matlab实现SEIR模型

1974年Hoppensteadt首先在文[1]中建立和研究了具有年龄结构的传染病模型．至今，具有年龄结构的 传染病模型的研究已有许多成果（见[2]-[5]等），但这些模型大多不考虑染病年龄、潜伏期等对疾病传播 的影响．这就不能准确的描述某些具有较长潜伏期和病程的传染病（麻疹、肺结核等）的传播,因此建立 和研究具有生理年龄、潜伏期和染病年龄的传染病模型具有重要意义．目前，同时具有生理年龄、染病 年龄、潜伏期的传染病模型研究结果较少，只有一些特殊问题的结果，如文[6]-[7]研究了具有生理年龄和 染病年龄的传染病模型,文[8]-[9]建立和研究了同时具有潜伏期、染病年龄和生理年龄的无免疫型SEIS传 染病模型及其解的适定性．本文针对麻疹、肺结核等疾病,将人群分为S（易感类）、E（潜伏类）、I（染病 类）、R（治愈类）四类人群，利用K-M仓室模型原理（见文[10]）,易建立同时具有生理年龄、染病年龄、潜 伏期的SEIR模型 。

这里总结了五个模型，分别是SI模型，SIS模型，SIR模型，SIRS模型，SEIR模型。

这几种模型的特点先介绍一下。

首先定义SEIR：

S为易感者 (Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；

E为暴露者 (Exposed)，指接触过感染者，但暂无能力传染给其他人的人，对潜伏期长的传染病适用；

I为感病者 (Infective)，指染上传染病的人，可以传播给 S 类成员，将其变为 E 类或 I 类成员；

R为康复者 (Recovered)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。如免疫期有限，R 类成员可以重新变为 S 类。

一、SI模型

该模型只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者。

随着时间推移，该模型感染者越来越多直到所有人都感染。

其微分方程为：

其中beta为感染率。

二、SIS模型 

该模型依然只考虑易感者和感病者，感病者不断去感染易感者，这里感病者会得到治疗恢复成易感者，不过恢复后依然可能得病。

随着时间推移，该模型感染者和易感者会达到动态平衡。

其微分方程为：

其中beta为感染率，gamma为治愈率。

三、SIR模型

该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者又不断接受治疗成为康复者，康复者因为得到抗体不会再成为易感者。

随着时间推移，该模型康复者越来越多，最终所有人都成为康复者。

其微分方程为：

其中beta为感染率，gamma为治愈率。

四、SIRS模型

该模型考虑易感者、感病者与康复者，其中感病者不断感染易感者，而感病者不断接受治疗成为康复者，康复者获得抗体能够抵抗一段时间，不过最终还是会成为易感者。

该模型和SIS模型很像，区别就是康复者能够抵抗一段时间，也就是有一定的复感率，而SIS模型的复感率为1。

随着时间推移，该模型同样会达到一个动态平衡。

其微分方程为：

其中beta为感染率，gamma为治愈率，alpha为复感率。

五、SEIR模型

该模型四种参与者全部考虑，其中感病者不断感染易感者，易感者得到病毒会成为潜伏者，潜伏者依然能够使易感者感染，潜伏者有一定概率自己痊愈，感染者接受治疗也能够痊愈，痊愈后不再能够感染该病。

随着时间推移，该模型最终也是所有人都会成为康复者。

其微分方程为：

其中beta为感染率，gamma1为潜伏期康复率，gamma2为患者康复率，alpha为潜伏期转阳率。

function Message_Spread_Mode
tic
load 'Data\Link.txt';    %读入连接矩阵
% load '\Data\Point_X.txt'; %读入横坐标
% load '\Data\Point_Y.txt'; %读入纵坐标
%-------------------------------------------------------------------------%
%状态分布及状态转移概率SEIR
%0:易感状态S（Susceptible）  P_0_1; （P_0_3:预免疫系数）
%1:潜伏状态E（Exposed）      P_1_0；P_1_2；P_1_3
%2:染病状态I（Infected）     P_2_0；P_2_3
%3:免疫状态R（Recovered）    P_3_0
%-------------------------------------------------------------------------%
%计算各用户节点的度                                                          
De=sum(Link);                                                              %用户节点的度
%------------——————----参数设置与说明--------------------------------%
[M N]=size(Link);                                                          %连接矩阵的规模
I_E=0.6;                                                                   %潜伏期E用户的传染强度
I_I=0.9;                                                                   %发病期I用户的传染强度
lamda=sum(De)/M;                                                           %用户单位时间内平均发送信息的数量
%P_m1：用户预免疫系数
%State：用户所处状态State=zeros(1,M);0:表示易感状态（Susceptible）
%---------------------------------1---------------------------------------%
%先讨论用户预免疫系数P_m1对病毒传播的影响
TimeStep=50;%input('短信网络内病毒传播模拟时间：');
P_m1=[0.1,0.5,0.9];         %用户预免疫系数
% State=zeros(TimeStep,M);  %用户的状态  
G_t=5;                      %G_t：用户的免疫持续时间，反映了病毒的变异频率
F_t=5;                      %F_t：用户从发现病毒到杀毒并升级病毒库的时间
for i=1:length(P_m1)
    TimeLong_F=zeros(1,M); %用户处于染病期的时间长短
    TimeLong_E=zeros(1,M); %用户处于潜伏期的时间长短
    Sta=zeros(1,M);                                                      %用户的状态 
    %进行预免疫设定
    for j=1:M
        if rand(1)<=P_m1(i)
            Sta(j)=3;         %进入免疫状态
            TimeLong_E(j)=1;  %出入潜伏期的时间为1
        else
            continue;
        end
    end
    %状态转换
    %初始随机选择一个节点为病源点（此时不能选处于免疫状态的点）
    %问题：节点度大小存在差别，可能模拟出来的结果有出于
    %      为避免这个问题，我们取度最大的节点为病源节点，如果已免疫，则选次大的，一次下去
    [Number,Sta]=Select_Infected_Point(M,Sta,De);
    %Number：病源节点
    %State ：确定病源节点以后的节点状态矩阵
    State=zeros(TimeStep,M);
    Number_State=zeros(4,TimeStep);  %用户处于个状态的统计数量
    for t=1:TimeStep
        if t==1
            State(t,:)=Sta;
        else
            %模拟每个用户节点的状态
            for j=1:M
                %判断用户节点处于什么状态，然后根据其状态确定其转变情况
                if State(t-1,j)==0                          %此时处于易感状态0，可能向潜伏期转移
                    Num=Select_Number_Near(j,Link);         %找出节点j的邻居节点
                    P=zeros(1,length(Num));                 %邻居节点感染该节点的概率
                    for k=1:length(Num)
                        if State(t-1,Num(k))==1             %节点处于潜伏期E（1）
                            P(k)=I_E/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./...
                                (factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                        else
                            if State(t-1,Num(k))==2          %节点处于染病期I（2）
                                P(k)=I_I/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./(factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                            else
                                continue;
                            end
                        end
                    end
                    P_0_1=max(P);                       %节点感染病毒的概率
                    if rand<=P_0_1                      %此时节点进入潜伏期
                       State(t,j)=1;
                    else
                       State(t,j)=State(t-1,j); 
                    end
                else
                    if State(t-1,j)==1         %此时处于潜伏状态E，可能向易感S，染病I和免疫R转移
                        if rand<=1/(1+exp(-De(j)))                 %向染病状态I转移                
                            State(t,j)=2;
                            TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+1;         %用户j处于染病状态的时间长短  
                        else
                            if rand<=1/(1+exp(-De(j)))             %向易感状态S转移           
                                State(t,j)=0;
                            else
                                if rand<=1/(1+exp(-De(j)))         %向免疫状态R转移
                                    State(t,j)=3;
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %免疫时间增加1
                                else
                                    State(t,j)=State(t-1,j);       %状态不变，依然为潜伏期E（1）
                                end
                            end
                        end
                    else
                        if State(t-1,j)==2        %此时处于欺染病状态I，可能向易感S，免疫R转移
                            if TimeLong_F(j)<=F_t         %表示此时用户不对病毒进行任何处理
                                State(t,j)=State(t-1,j);           %此时用户维持在原状态I
                                TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+2;
                            else
                                %此时用户对进行杀毒并升级病毒库，进入免疫状态R
                                State(t,j)=3;
                                TimeLong_F(j)=0; %处于感染期（中毒状态）的时间长度
                                TimeLong_E(j)=1; %进入免疫期的时间长度
                            end
                        else
                            %此时用户处于免疫期
                            if TimeLong_E<=G_t   %病毒此时并未突变，维持原状态R（免疫状态）
                                State(t,j)=State(t-1,j);
                                TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                            else
                                if rand<=1/G_t  %病毒突变，状态转移为易感状态S
                                    State(t,j)=0;
                                    TimeLong_E(j)=0;
                                else
                                    %此时用户状态依然不变
                                    State(t,j)=State(t-1,j);
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                                end
                            end
                        end
                    end
                end
            end
        end
        %统计各状态的节点数量
        Number_State(1,t)=sum(State(t,:)==0);%处于易感状态S的总节点数量
        Number_State(2,t)=sum(State(t,:)==1);%处于易感状态E的总节点数量
        Number_State(3,t)=sum(State(t,:)==2);%处于易感状态I的总节点数量
        Number_State(4,t)=sum(State(t,:)==3);%处于易感状态R的总节点数量
        figure(i)
        if rem(t,3)==0
            plot([t-1 t],[Number_State(1,t-1) Number_State(1,t)],'md-'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(2,t-1) Number_State(2,t)],'gh:'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(3,t-1) Number_State(3,t)],'bs-.'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(4,t-1) Number_State(4,t)],'k.-'),hold on
        else
            continue;
        end
        legend('易感状态Susceptible','潜伏状态Exposed','染病状态Infected','免疫状态Recovered')
        xlabel('模拟时间')
        ylabel('各状态的用户数量')
    end
end
P_m1=0.3;         %用户预免疫系数
% State=zeros(TimeStep,M);  %用户的状态  
% G_t=5;                      %G_t：用户的免疫持续时间，反映了病毒的变异频率
G_t=[1,5,9];
F_t=5;                      %F_t：用户从发现病毒到杀毒并升级病毒库的时间
for i=1:length(G_t)
    TimeLong_F=zeros(1,M); %用户处于染病期的时间长短
    TimeLong_E=zeros(1,M); %用户处于潜伏期的时间长短
    Sta=zeros(1,M);                                                      %用户的状态 
    %进行预免疫设定
    for j=1:M
        if rand(1)<=P_m1
            Sta(j)=3;         %进入免疫状态
            TimeLong_E(j)=1;  %出入潜伏期的时间为1
        else
            continue;
        end
    end
    %状态转换
    %初始随机选择一个节点为病源点（此时不能选处于免疫状态的点）
    %问题：节点度大小存在差别，可能模拟出来的结果有出于
    %      为避免这个问题，我们取度最大的节点为病源节点，如果已免疫，则选次大的，一次下去
    [Number,Sta]=Select_Infected_Point(M,Sta,De);
    %Number：病源节点
    %State ：确定病源节点以后的节点状态矩阵
    State=zeros(TimeStep,M);
    Number_State=zeros(4,TimeStep);  %用户处于个状态的统计数量
    for t=1:TimeStep
        if t==1
            State(t,:)=Sta;
        else
            %模拟每个用户节点的状态
            for j=1:M
                %判断用户节点处于什么状态，然后根据其状态确定其转变情况
                if State(t-1,j)==0                          %此时处于易感状态0，可能向潜伏期转移
                    Num=Select_Number_Near(j,Link);         %找出节点j的邻居节点
                    P=zeros(1,length(Num));                 %邻居节点感染该节点的概率
                    for k=1:length(Num)
                        if State(t-1,Num(k))==1             %节点处于潜伏期E（1）
                            P(k)=I_E/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./...
                                (factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                        else
                            if State(t-1,Num(k))==2          %节点处于染病期I（2）
                                P(k)=I_I/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./...
                                    (factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                            else
                                continue;
                            end
                        end
                    end
                    P_0_1=max(P);                       %节点感染病毒的概率
                    if rand<=P_0_1                      %此时节点进入潜伏期
                       State(t,j)=1;
                    else
                       State(t,j)=State(t-1,j); 
                    end
                else
                    if State(t-1,j)==1          %此时处于潜伏状态E，可能向易感S，染病I和免疫R转移
                        if rand<=1/(1+exp(-De(j)))                 %向染病状态I转移                
                            State(t,j)=2;
                            TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+1;         %用户j处于染病状态的时间长短  
                        else
                            if rand<=1/(1+exp(-De(j)))             %向易感状态S转移           
                                State(t,j)=0;
                            else
                                if rand<=1/(1+exp(-De(j)))         %向免疫状态R转移
                                    State(t,j)=3;
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %免疫时间增加1
                                else
                                    State(t,j)=State(t-1,j);       %状态不变，依然为潜伏期E（1）
                                end
                            end
                        end
                    else
                        if State(t-1,j)==2           %此时处于欺染病状态I，可能向易感S，免疫R转移
                            if TimeLong_F(j)<=F_t          %表示此时用户不对病毒进行任何处理
                                State(t,j)=State(t-1,j);           %此时用户维持在原状态I
                                TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+2;
                            else
                                %此时用户对进行杀毒并升级病毒库，进入免疫状态R
                                State(t,j)=3;
                                TimeLong_F(j)=0; %处于感染期（中毒状态）的时间长度
                                TimeLong_E(j)=1; %进入免疫期的时间长度
                            end
                        else
                            %此时用户处于免疫期
                            if TimeLong_E<=G_t(i)   %病毒此时并未突变，维持原状态R（免疫状态）
                                State(t,j)=State(t-1,j);
                                TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                            else
                                if rand<=1/G_t(i)              %病毒突变，状态转移为易感状态S
                                    State(t,j)=0;
                                    TimeLong_E(j)=0;
                                else
                                    %此时用户状态依然不变
                                    State(t,j)=State(t-1,j);
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                                end
                            end
                        end
                    end
                end
            end
        end
        %统计各状态的节点数量
        Number_State(1,t)=sum(State(t,:)==0);%处于易感状态S的总节点数量
        Number_State(2,t)=sum(State(t,:)==1);%处于易感状态E的总节点数量
        Number_State(3,t)=sum(State(t,:)==2);%处于易感状态I的总节点数量
        Number_State(4,t)=sum(State(t,:)==3);%处于易感状态R的总节点数量
        figure(i+5)
        if rem(t,3)==0
            plot([t-1 t],[Number_State(1,t-1) Number_State(1,t)],'md-'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(2,t-1) Number_State(2,t)],'gh:'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(3,t-1) Number_State(3,t)],'bs-.'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(4,t-1) Number_State(4,t)],'k.-'),hold on
        else
            continue;
        end
        legend('易感状态Susceptible','潜伏状态Exposed','染病状态Infected','免疫状态Recovered')
        xlabel('模拟时间')
        ylabel('各状态的用户数量')
    end
end
P_m1=0.3;                   %用户预免疫系数
% State=zeros(TimeStep,M);  %用户的状态  
% G_t=5;                      %G_t：用户的免疫持续时间，反映了病毒的变异频率
G_t=5;
F_t=[1,5,9];                        %F_t：用户从发现病毒到杀毒并升级病毒库的时间
for i=1:length(F_t)
    TimeLong_F=zeros(1,M); %用户处于染病期的时间长短
    TimeLong_E=zeros(1,M); %用户处于潜伏期的时间长短
    Sta=zeros(1,M);                                                      %用户的状态 
    %进行预免疫设定
    for j=1:M
        if rand(1)<=P_m1
            Sta(j)=3;         %进入免疫状态
            TimeLong_E(j)=1;  %出入潜伏期的时间为1
        else
            continue;
        end
    end
    %状态转换
    %初始随机选择一个节点为病源点（此时不能选处于免疫状态的点）
    %问题：节点度大小存在差别，可能模拟出来的结果有出于
    %      为避免这个问题，我们取度最大的节点为病源节点，如果已免疫，则选次大的，一次下去
    [Number,Sta]=Select_Infected_Point(M,Sta,De);
    %Number：病源节点
    %State ：确定病源节点以后的节点状态矩阵
    State=zeros(TimeStep,M);
    Number_State=zeros(4,TimeStep);  %用户处于个状态的统计数量
    for t=1:TimeStep
        if t==1
            State(t,:)=Sta;
        else
            %模拟每个用户节点的状态
            for j=1:M
                %判断用户节点处于什么状态，然后根据其状态确定其转变情况
                if State(t-1,j)==0                          %此时处于易感状态0，可能向潜伏期转移
                    Num=Select_Number_Near(j,Link);         %找出节点j的邻居节点
                    P=zeros(1,length(Num));                 %邻居节点感染该节点的概率
                    for k=1:length(Num)
                        if State(t-1,Num(k))==1             %节点处于潜伏期E（1）
                            P(k)=I_E/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./...
                                (factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                        else
                            if State(t-1,Num(k))==2          %节点处于染病期I（2）
                                P(k)=I_I/De(Num(k))*sum((lamda.^([1:De(Num(k))]).*exp(-lamda))./...
                                    (factorial([1:De(Num(k))]-1)));
                            else
                                continue;
                            end
                        end
                    end
                    P_0_1=max(P);                       %节点感染病毒的概率
                    if rand<=P_0_1                      %此时节点进入潜伏期
                       State(t,j)=1;
                    else
                       State(t,j)=State(t-1,j); 
                    end
                else
                    if State(t-1,j)==1      %此时处于潜伏状态E，可能向易感S，染病I和免疫R转移
                        if rand<=1/(1+exp(-De(j)))                 %向染病状态I转移                
                            State(t,j)=2;
                            TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+1;         %用户j处于染病状态的时间长短  
                        else
                            if rand<=1/(1+exp(-De(j)))             %向易感状态S转移           
                                State(t,j)=0;
                            else
                                if rand<=1/(1+exp(-De(j)))         %向免疫状态R转移
                                    State(t,j)=3;
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %免疫时间增加1
                                else
                                    State(t,j)=State(t-1,j);       %状态不变，依然为潜伏期E（1）
                                end
                            end
                        end
                    else
                        if State(t-1,j)==2           %此时处于欺染病状态I，可能向易感S，免疫R转移
                            if TimeLong_F(j)<=F_t(i)   %表示此时用户不对病毒进行任何处理
                                State(t,j)=State(t-1,j);           %此时用户维持在原状态I
                                TimeLong_F(j)=TimeLong_F(j)+2;
                            else
                                %此时用户对进行杀毒并升级病毒库，进入免疫状态R
                                State(t,j)=3;
                                TimeLong_F(j)=0; %处于感染期（中毒状态）的时间长度
                                TimeLong_E(j)=1; %进入免疫期的时间长度
                            end
                        else
                            %此时用户处于免疫期
                            if TimeLong_E<=G_t          %病毒此时并未突变，维持原状态R（免疫状态）
                                State(t,j)=State(t-1,j);
                                TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                            else
                                if rand<=1/G_t              %病毒突变，状态转移为易感状态S
                                    State(t,j)=0;
                                    TimeLong_E(j)=0;
                                else
                                    %此时用户状态依然不变
                                    State(t,j)=State(t-1,j);
                                    TimeLong_E(j)=TimeLong_E(j)+1; %处于免疫期的时间增加
                                end
                            end
                        end
                    end
                end
            end
        end
        %统计各状态的节点数量
        Number_State(1,t)=sum(State(t,:)==0);%处于易感状态S的总节点数量
        Number_State(2,t)=sum(State(t,:)==1);%处于易感状态E的总节点数量
        Number_State(3,t)=sum(State(t,:)==2);%处于易感状态I的总节点数量
        Number_State(4,t)=sum(State(t,:)==3);%处于易感状态R的总节点数量
        figure(i+10)
        if rem(t,3)==0
            plot([t-1 t],[Number_State(1,t-1) Number_State(1,t)],'md-'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(2,t-1) Number_State(2,t)],'gh:'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(3,t-1) Number_State(3,t)],'bs-.'),hold on
            plot([t-1 t],[Number_State(4,t-1) Number_State(4,t)],'k.-'),hold on
        else
            continue;
        end
        legend('易感状态Susceptible','潜伏状态Exposed','染病状态Infected','免疫状态Recovered')
        xlabel('模拟时间')
        ylabel('各状态的人口数量')
    end
end
toc