FloydWarshall算法（全点对最短路径）

参考：Floyd算法
懒猫老师-最短路径

一、概述

当我们要求一个带权有向图中的所有点对的最短路径时，我们或许想到之前学的Dijkstra算法，但这个算法是算一个点到其他点的最短距离的，如果要求所有点对的最短路径，我们需要对每一个点都是用这个算法，时间复杂度是O（N^3）
我们给出另外一个算法，FloydWarshall算法，虽然时间复杂度也为O（N^3），但形式会简单许多。其主要依赖于邻接矩阵的更新来获得最小值

二、实现方法

对于一个给定的图，我们初始化一个邻接矩阵dist，表示的是与节点直接相连（或到达节点只需走一条边）的节点的距离值，还有一个path数据表示从某节点到这个节点的距离路径。
这两个矩阵是一一对应的。

第一次迭代，我们考察两个节点经转另一个节点后的距离是否会缩短，我们先看经转a节点，经过循环发现c经转a到b的距离可以缩短，于是我们更新两个数组

第二次迭代，我们经转b，于是发现a经转b到c可缩短，更新

第三次，经转c，发现可以，更新之

小练习

答案

三、规律

拿第一次迭代做例子，我们发现dist数组的更新是有规律可循的，就用之前的数组的 i j 的值比较i 与 k （这里的k是我们之前说的经转的节点，刚好和下表对上）、k 和 j 的距离之和的值，
取小的那一个放入新的距离数组

同理我们有第二次迭代的公式

我们发现，这个规律应该是正确的，于是可以总结如下：

注：arc矩阵是邻接矩阵

以下有代码实现。

伪代码：

可见，我们更新数组的过程，需要有3重循环，第一重是依次对中转节点的选择，第二、三重是循环二维数组，里面的代码就是对距离进行判断并进行更新。

使用数字表示path数组

当然，我们可以不用字符串来表明最短路径，我们可以用数字来直接表示。

首先我们初始化A（距离数组）、P（路径数组）

然后我们进行第一次迭代，虽然矩阵没变化，但这个矩阵的意义是发生变化了的，因为经转了 1 节点

然后进行第二次迭代，我们发现a13比a12+a23的值大，所以更新，并在P数组中记录路径
（注意我们这里索引以1开始，不是0！）

继续，我们进行第三次迭代

第4次

第5次，发现不变。
因为就5个节点，已经循环完了，所以我们结束并得到最终结果

A数组的获取方法和之前讲的是一样的
那我们怎么通过P数组找到路径呢？

假如要找从1节点到5节点的路径：
首先找p15，发现是4，可知其中有4中转；
然后找p14，看看从1到4是否有中转，发现没有；
再找p45，发现有3中转；
此时我们还要找p43，p35，发现没有值，说明没有中转了。

综上，我们可以得到路径1-4-3-5

四、小结

我们可以看到，这个算法虽然时间效率不低，但形式简单、直观。