初高中衔接讲座：正三角形内的定值问题

正三角形内的定值问题

已知： 是等边三角形. 点 为 内一动点; ; 点 为垂足.

求证： 为定值，并求此定值.

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【证法1】

基本思路：应用面积公式，将线段和转化为面积和。

作辅助线 .

因为 ,

所以

因为

,

所以

. 证明完毕.

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【证法2】

基本思路：应用全等三角形和矩形的性质。

过点 作直线平行于 , 交 于点 .

过点 作直线平行于 , 交 于点 .

作 , 点 为垂足；作 , 点 为垂足；

记 交点为点 ; 记 交点为点 .

由已知条件可以推出：

是正三角形； 也是正三角形；

四边形 是矩形；四边形 是矩形；

；

所以，

.

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【证法3】

基本思路：借助三角函数完成证明。

如图所示，作 ,

过点 作 , 垂足为 .

因为 , 所以 . 是正三角形；

因为 , 所以 ,

因为 , 所以

所以

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【提炼与提高】

在本题的三种证明方法中，以证法一最为简洁优雅。证法一的特色在于：用面积公式把线段和与面积和关联起来，利用面积之间的恒等关系证明线段之和为定值。

该方法具有相当广泛的用途。正弦定理、三角形的内切圆半径，都可以从面积公式推导得出。

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【相关问题】

用初中数学破解高考数学题：如何用面积公式实现转化？

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