一元线性回归模型（公式推导+举例应用）
文章目录
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- 引言
- 模型表达式
- 均方误差和优化目标
- 最小二乘法
- 利用协方差和方差求解 k k k和 b b b
- 结论
- 实验分析
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引言
一元线性回归是回归分析中简单而重要的一种模型，旨在找到一条直线，以最佳方式拟合输入变量与输出变量之间的关系。在这篇文章中，我们将深入探讨一元线性回归的原理及其应用。
模型表达式
一元线性回归模型的表达式为： f ( x i ) = k x i + b f(x_i)=kx_i+b f(xi)=kxi+b
其中， x i x_i xi为输入变量， f ( x i ) f(x_i) f(xi)为模型的输出， k k k为斜率， b b b为截距，我们的目标是通过学习 k k k和 b b b使得 f ( x i ) f(x_i) f(xi)尽可能的接近真实观测值 y i y_i yi。
均方误差和优化目标
为了衡量模型的性能，我们引入均方误差 J ( k , b ) : J(k,b): J(k,b):
J ( k , b ) = ∑ i = 1 m ( f ( x i ) − y i ) 2 J(k,b)=\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2 J(k,b)=i=1∑m(f(xi)−yi)2
其中 m m m为样本数量。我们的优化目标是最小化均方误差，即：
E ( k ⋆ , b ⋆ ) = a r g ( k , b ) m i n ∑ i = 1 m ( y i − k x i − b ) 2 E(k^\star,b^\star)=arg_{(k,b)}min\sum_{i=1}^m(y_i-kx_i-b)^2 E(k⋆,b⋆)=arg(k,b)mini=1∑m(yi−kxi−b)2
最小二乘法
通过最小二乘法，我们对均方误差函数分别对 k k k和 b b b求偏导数，令其等于零，得到优化的解：
∂ ∂ k E ( k , b ) = − 2 ∑ i = 1 n x i ( y i − ( k x i + b ) ) = 0 \frac{\partial}{\partial k} E(k, b)=-2\sum_{i=1}^n x_i\left(y_i-\left(k x_i+b\right)\right)=0 ∂k∂E(k,b)=−2i=1∑nxi(yi−(kxi+b))=0
∂ ∂ b E ( k , b ) = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − ( k x i + b ) ) = 0 \frac{\partial}{\partial b} E(k, b)=-2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\left(k x_i+b\right)\right)=0 ∂b∂E(k,b)=−2i=1∑n(yi−(kxi+b))=0
整理并得到：
k = ∑ i = 1 m y i ( x i − x ˉ ) ∑ i = 1 m x i 2 − 1 m ( ∑ i = 1 m x i ) 2 k=\frac{\sum_{i=1}^my_i(x_i- \bar x)}{\sum_{i=1}^mx_i^2-\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^mx_i)^2} k=∑i=1mxi2−m1(∑i=1mxi)2∑i=1myi(xi−xˉ)
b = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − k x i ) b=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-kx_i) b=m1i=1∑m(yi−kxi)
其中， x ˉ \bar x xˉ为输入变量 x x x的均值。最终得到模型表达式：
f ( x i ) = k T x i + b f(x_i)=k^Tx_i+b f(xi)=kTxi+b
使得 f ( x i ) f(x_i) f(xi)尽可能地接近 y i y_i yi。
利用协方差和方差求解 k k k和 b b b
另一种求解斜率 k k k和截距 b b b的方法是通过协方差和方差的关系。
因为 Y = k X + b Y=kX+b Y=kX+b，所以 E Y = k E X + b EY=kEX+b EY=kEX+b
又因为 X Y = k X 2 + b X XY=kX^2+bX XY=kX2+bX，所以 E X Y = k E X 2 + b E X EXY=kEX^2+bEX EXY=kEX2+bEX
联立两个式子可得：
k = E X Y − E X E Y E X 2 − ( E X ) 2 = C O V ( X , Y ) D X k=\frac{EXY-EXEY}{EX^2-(EX)^2}=\frac{COV(X,Y)}{DX} k=EX2−(EX)2EXY−EXEY=DXCOV(X,Y)
b = E Y − k E X b=EY-kEX b=EY−kEX
我们同样可以得到一元线性回归模型 f ( x i ) = k T x i + b f(x_i)=k^Tx_i+b f(xi)=kTxi+b
结论
通过最小二乘法和协方差方差的推导，我们得到了一元线性回归的两种求解方法。这些方法为我们建立模型和预测提供了有力的工具，同时也帮助我们理解了回归分析的基本原理。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行建模和分析。
实验分析
以下是工人工作年限与对应薪水的数据集。
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="deep")
# 读入数据集
data = pd.read_csv('data/Salary_dataset.csv')
# 绘制散点图
plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi'
plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c='blue', label='训练集')
# 添加标签和标题
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('训练集散点图')
# 添加图例
plt.legend()
# 显示图形
plt.show()
# 更新k,b(协方差)
def update_k_b(data, k, b):
# 计算协方差和方差
cov_xy = np.sum((data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean()) * (data['Salary'] - data['Salary'].mean()))
var_x = np.sum((data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean())**2)
# 计算k和b
k = cov_xy / var_x
b = data['Salary'].mean() - k * data['YearsExperience'].mean()
return k, b
# 更新k,b（最小二乘法）
def update_k_b_2(data, k, b):
w = np.sum(data['Salary'] * (data['YearsExperience'] - data['YearsExperience'].mean())) / (np.sum(data['Salary'] ** 2) - np.sum(data['Salary']) ** 2 / len(data))
b = data['Salary'].mean() - k * data['YearsExperience'].mean()
return k, b
计算 k k k和 b b b
k = b = 0
k, b = update_k_b(data, k, b)
得到 k = 9449.962321455076 k=9449.962321455076 k=9449.962321455076， b = 24848.2039665232 b=24848.2039665232 b=24848.2039665232。
绘制最终的拟合直线：
# 绘制散点图
plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi'
plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c = 'blue', label = '数据点')
# 生成一些x值
x_line = np.linspace(0, 12, 100)
# 根据直线方程计算对应的y值
y_line = k * x_line + b
# 绘制直线图
plt.plot(x_line, y_line, label = f'直线方程: y = {k:.0f}x + {b:.0f}', c = 'red')
# 添加标签和标题
plt.xlabel('YearsExperience')
plt.ylabel('Salary')
plt.title('一元线性回归模型')
# 添加图例
plt.legend()
# 显示图形
plt.show()
