Python解偏微分方程
− ∇ 2 u ( x ) = f ( x ) , x in Ω , ( 1 ) -\nabla^{2} u(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { in } \Omega,\qquad(1) −∇2u(x)=f(x),x in Ω,(1)
u ( x ) = u D ( x ) , x on ∂ Ω , ( 2 ) u(\boldsymbol{x})=u_{\mathrm{D}}(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x} \text { on } \partial \Omega,\qquad(2) u(x)=uD(x),x on ∂Ω,(2)
其中， u = u ( x ) u=u(\boldsymbol{x}) u=u(x) 为未知函数， f = f ( x ) f=f(\boldsymbol{x}) f=f(x) 为规定函数， ∇ 2 \nabla^{2} ∇2 为拉普拉斯算子（常写为 ∇ \nabla ∇）， Ω \Omega Ω 为空间域， ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω 为 Ω \Omega Ω的边界。 泊松问题，包括偏微分方程 − ∇ 2 u = f -\nabla^{2} u=f −∇2u=f 和 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω 上的边界条件 u = u D u=u_{\mathrm{D}} u=uD，是边界值问题的一个例子，在开始使用 FEniCS 解决它之前必须精确说明。
在坐标为 x 和 y 的二维空间中，我们可以写出泊松方程为
− ∂ 2 u ∂ x 2 − ∂ 2 u ∂ y 2 = f ( x , y ) , ( 3 ) -\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=f(x, y),\qquad(3) −∂x2∂2u−∂y2∂2u=f(x,y),(3)
未知数 u \boldsymbol{u} u 现在是两个变量的函数， u = u ( x , y ) u=u(x, y) u=u(x,y)，在二维域 Ω \Omega Ω 上定义。
泊松方程出现在许多物理环境中，包括热传导、静电、物质扩散、弹性杆的扭曲、无粘性流体流动和水波。 此外，该方程出现在更复杂的偏微分方程系统的数值分裂策略中，尤其是 Navier-Stokes 方程。
求解边界值问题包括以下步骤：
有限元变分公式
FEniCS 基于有限元方法，它是 PDE 数值解的通用且高效的数学机器。 有限元方法的起点是以变分形式表示的偏微分方程。
将 PDE 转化为变分问题的基本方法是将 PDE 乘以函数 v v v，在域 Ω \Omega Ω 上对所得方程进行积分，并通过具有二阶导数的部分项进行积分。 乘以 PDE 的函数 v v v 称为测试函数。 要逼近的未知函数 u u u 称为试验函数。 术语试验和测试功能也用于 FEniCS 程序。 试验和测试函数属于某些所谓的函数空间，这些函数空间指定了函数的属性
在本例中，我们首先将泊松方程乘以测试函数 v v v 并在 Ω \Omega Ω 上积分：
− ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v d x = ∫ Ω f v d x , ( 4 ) -\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(4) −∫Ω(∇2u)v dx=∫Ωfv dx,(4)
我们在这里让 dx 表示域 Ω 上积分的微分元素。 我们稍后将让 ds 表示在 Ω 边界上积分的微分元素。
当我们推导出变分公式时，一个常见的规则是我们尽量保持 u u u 和 v v v 的导数的阶数尽可能小。 在这里，我们有 u u u 的二阶空间导数，可以通过应用部分积分技术将其转换为 u u u 和 v v v 的一阶导数。 公式是这样写的
− ∫ Ω ( ∇ 2 u ) v d x = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x − ∫ ∂ Ω ∂ u ∂ n v d s , ( 5 ) -\int_{\Omega}\left(\nabla^{2} u\right) v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x-\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} v \mathrm{~d} s,\qquad(5) −∫Ω(∇2u)v dx=∫Ω∇u⋅∇v dx−∫∂Ω∂n∂uv ds,(5)
其中 ∂ u ∂ n = ∇ u ⋅ n \frac{\partial u}{\partial n}=\nabla u \cdot n ∂n∂u=∇u⋅n 是 u u u 在边界外法线方向 n n n 上的导数。
变分公式的另一个特点是测试函数 v v v 需要在解 u u u 已知的边界部分消失。 在当前问题中，这意味着整个边界 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω 上的 v = 0 v=0 v=0。 因此，等式（5）右边的第二项消失了。 从等式（4）和（5）可以得出
∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x , ( 6 ) \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(6) ∫Ω∇u⋅∇v dx=∫Ωfv dx,(6)
抽象有限元变分公式
事实证明，为变分问题引入以下规范符号是很方便的：找到 u ∈ V u \in V u∈V 使得
a ( u , v ) = L ( v ) ∀ v ∈ V ^ , ( 9 ) a(u, v)=L(v) \quad \forall v \in \hat{V},\qquad(9) a(u,v)=L(v)∀v∈V^,(9)
对于泊松方程，我们有：
a ( u , v ) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x , ( 10 ) a(u, v)=\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x,\qquad(10) a(u,v)=∫Ω∇u⋅∇v dx,(10)
L ( v ) = ∫ Ω f v d x , ( 11 ) L(v)=\int_{\Omega} f v \mathrm{~d} x,\qquad(11) L(v)=∫Ωfv dx,(11)
实现代码（Python）
from fenics import *
# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(8, 8)
V = FunctionSpace(mesh, ’P’, 1)
# Define boundary condition
u_D = Expression(’1 + x[0]*x[0] + 2*x[1]*x[1]’, degree=2)
def boundary(x, on_boundary):
return on_boundary
bc = DirichletBC(V, u_D, boundary)
# Define variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(-6.0)
a = dot(grad(u), grad(v))*dx
L = f*v*dx
# Compute solution
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
...
详情参阅 - 亚图跨际