信道估计之LMMSE估计

        之前的内容讲到了MMSE信道估计，并推导了基于MMSE优化准则的估计结果，该方法是对LS信道估计的进一步优化，适用于低信噪比场合，但由于其计算复杂，所以并不实用。因此又有了LMMSE信道估计方法，相对于MMSE估计，它在不损失太多性能的前提下，降低了计算的复杂度，因此大部分的实际系统中，实用的就是这个估计方法。
        下面来看下LMMSE估计是如何实现降低复杂度的。
        首先将MMSE计算公式中的X^HX用其均值来代替，即

        为什么用均值来代替即时值能降低计算复杂度？这需要分析X^HX里面的数据是什么，它是一个MM的矩阵，其对角线上是已知数据（导频信号）的功率，而其他位置的数据则是已知数据与其自身延迟数据的相关，该相关值可近似为满足标准正态分布的信号(均值为0)。那么对应到E(X^HX)，其对角线上的数据就是已知数据的平均功率，而其他位置的数据则为0。因此通过这种替代，可将h_mmse进一步做如下化简

       这样就去掉了一个矩阵求逆的运算，再进一步设SNR=E(x²)/$\sigma$²,   $\beta$=E(x²)E(1/x²)，则

其中SNR为接收信号的信噪比，而β则是与调制方式有关的一个常数。这个常数的计算举例如下
        1.QPSK

E(x²)=4(1²+1²)/4=2 E(1/x²)=4*(1/(1²+1²))/4=1/2，所以对于QPSK调制，β=1。

        2.16QAM

E(x²)=[4*(1²+1²)+4*(3²+3²)+4*(1²+3²)+4*(3²+1²)]/16=10
E(1/x²)= [4/(1²+1²)+4/(3²+3²)+4/(1²+3²)+4/(3²+1²)]/16=17/90
所以对于16QAM调制，β=17/9，对于其他的调制方式，也可用这种方法进行计算。

        可见，LMMSE估计比MMSE估计省掉了一个矩阵求逆过程，看到这里你也基本了解了LMMSE估计的来历，再去看更深入的改进算法就会容易很多。这里的lmmse估计公式里还包含一个矩阵求逆。以7条多径的信道估计为例，这就是要做一个7*7大小矩阵的求逆，计算量还是很大的，因此实际工程中，还是有很多其他的方法来进一步降低LMMSE的计算量 ，这里简单介绍一种SVD分解的方法，也可理解为特征值分解，因为信道相关矩阵是方阵。