leetcode----152.乘积最大子数组（动态规划，两个状态数组）

152.乘积最大子数组

问题：给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

我首先使用暴力枚举做的，后面实在没有思路，参考官方题解，自己总结一下。

思路：定义dp[i]为以第 i个元素结尾的最大子数组的乘积。若给定数组nums中的所有元素都非负，则有dp[i] = max{dp[i-1]*a_i, dp[i]}，但是由于给定数组中有负数，所以该状态转移方程不对，以[2,3,-2,-2]为例，dp数组应该为[2,6,-2,4]，而正确结果应该是2*6*-2*-2=48。所以当前位置的最优解未必是由前一个位置的最优解转移得到的。

接下来根据正负性来分析，若当前数为负数，我们希望以它前一个位置为结尾的某个子数组的乘积也为负数，且越小越好；若当前数为正数，我们希望以它前一个位置为结尾的某个子数组的乘积也为正数，且越大越好，因此，定义max[i]表示以i为结尾的最大子数组的乘积，min[i]表示以i为结尾的最小子数组的乘积。可以得到这样的状态转移方程：

max[i] = max(max[i-1]*nums[i], min[i-1]*nums[i], nums[i])
min[i] = min(max[i-1]*nums[i], min[i-1]*nums[i], nums[i])

代码如下：

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        if(nums.length == 0) return 0;
        int[] max = new int[nums.length];
        int[] min = new int[nums.length];
        max[0] = nums[0];
        min[0] = nums[0];

        for(int i = 1; i < nums.length; i++){
            max[i] = Math.max(max[i - 1] * nums[i], Math.max(min[i - 1] * nums[i], nums[i]));
            min[i] = Math.min(max[i - 1] * nums[i], Math.min(min[i - 1] * nums[i], nums[i]));
        }

        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for(int num: max){
            if(num > res) {
                res = num;
            }
        }

        return res;
    }
}

通过状态转移方程我们可以发现，max[i]和min[i]的状态都与各自前一个位置的状态和当前位置的数有关，所以可以将减少算法的空间复杂度

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        if(nums.length == 0) return 0;
        int max = 1;
        int min = 1;

        int res = Integer.MIN_VALUE;

        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            int temp = max;
            max = Math.max(max * nums[i], Math.max(min * nums[i], nums[i]));
            min = Math.min(temp * nums[i], Math.min(min * nums[i], nums[i]));
            res = Math.max(max, res);
        }
        return res;
    }
}