动态规划篇-00：解题思想与框架

引言

这篇文章是我的第一个专栏的第一篇文章。

在这篇文章中，我将总结我对于动态规划的认识与解题框架。这些思想和框架将会在后面的习题中反复出现。

解题思想

对于所有的算法题来说，本质上都是“穷举”——列出所有的结果，然后选择最优解、“聪明地穷举”——通过处理重叠子问题来降低时间复杂度。

穷举又分为[遍历]和[分解问题]两个思路。其中[遍历]思路扩展延伸就是回溯算法，[分解问题]的思路可以扩展成动态规划算法。

动态规划

动态规划问题的一般形式就是求最值，那么核心问题就是穷举——穷举所有可行的方案，然后在其中找最值。

一般来说，动态规划有三个因素：[状态转移方程]、[最优子结构]、[重叠子问题]。

只有列出正确的状态转移方程，才能正确地穷举；判断算法是否具备最优子结构，是否能通过子问题的最值得到原问题的最值；通过优化重叠子问题来优化穷举过程

而[状态转移方程]是这三者中的关键，因为有了状态转移方程，你就能写出暴力解法，虽然时间复杂度可能会很高。

状态转移方程

按照一下思路去思考状态转移方程：明确base case → 明确状态 → 明确选择 → 定义dp数组/函数的定义

问题1：什么是“base case”？

最小的子问题或边界情况下的解

问题2：什么是“状态”？

原问题和子问题中会变化的变量

问题3：什么是“选择”？

导致“状态”产生变化的行为

遍历所有状态去做选择

# 自顶向下递归的动态规划
def dp(状态1, 状态2, ...):
    for 选择 in 所有可能的选择:
        # 此时的状态已经因为做了选择而改变
        result = 求最值(result, dp(状态1, 状态2, ...))
    return result

# 自底向上迭代的动态规划
# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)

接下来，我们以力扣hot100 动态规划篇的第一题 力扣70：爬楼梯 为例来使用解题思想