从0开始——树(二叉树)

一、树

1.树的定义

树

二、二叉树的性质

1.在二叉树的第i层最多有2^(i-1)个结点。(i>=1)
2.深度为k的二叉树最多有(2^k)-1个结点。(这里指的是总的结点数)
3.对于任意一颗二叉树T，若终端结点数(度为0的结点)为n0，度为2的结点为n2，n0=n2+1.
推导如下：
a.假设度为1的节点为n1，总结点数n=n0+n1+n2;
b.连接数=n-1=n1+2n2
c.因此n0+n1+n2-1=n1+2n2
得出: n0=n2+1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k=log2n+1
推导如下:
由性质2，满二叉树的总结点数为n = 2^k -1;
k=log2(n+1)
满二叉树倒数第二层的总结点数为 n = 2^(k-1)-1;
因此完全二叉树在这2者之间:
2^(k-1)-1 由于n是整数，因此
2^(k-1)<=n<2k 同事取对数 k-1 <= log2(n) 因此具有n个结点的完全二叉树的深度k=log2n+1

三、二叉树的创建和遍历

0.二叉树的创建

#include 
#include 
#include 

typedef char ElemType;//定义数据类型

//二叉树结点
typedef struct BTree
{
    ElemType data;//存储数据 
    struct BTree *left;//左子节点 
    struct BTree *right;//右子节点 
} BTree;

//创建二叉树 
void createBTree(BTree **t)//注意这里是二级指针，用于保存一级指针的地址
{
    ElemType c;
    scanf("%c",&c);
    if(c == '#')
    {
        *t=NULL;
    } 
    else
    {
        *t = (BTree*)malloc(sizeof(BTree));//创建新的节点
        (*t)->data=c;
        createBTree(&(*t)->left);//创建左节点 
        createBTree(&(*t)->right); //创建右节点 
    }
}

1.前序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后访问左子树，最后访问右子树。

void visit(BTree *t)
{
    printf("%c ",t->data);
} 

//前序遍历
preOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    visit(t);//遍历根
    preOrder(t->left);//访问左子树
    preOrder(t->right);//访问右子树    

} 

2.中序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问左子树，然后访问根结点，最后访问右子树。

//中序遍历
inOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    inOrder(t->left);//访问左子树
    visit(t);//遍历根
    inOrder(t->right);//访问右子树     

} 

3.后序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问左子树，然后最后访问右子树，最后访问根结点。

postOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    postOrder(t->left);//访问左子树
    ppostOrder(t->right);//访问右子树      
    visit(t);//遍历根
} 

4.层序遍历
若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根节点开始往下遍历，同一层中从左往右遍历。

完整源码

#include 
#include 
#include 

typedef char ElemType;//定义数据类型

//二叉树结点
typedef struct BTree
{
    ElemType data;//存储数据 
    struct BTree *left;//左子节点 
    struct BTree *right;//右子节点 
} BTree;

//创建二叉树 
void createBTree(BTree **t)
{
    ElemType c;
    scanf("%c",&c);
    if(c == '#')
    {
        *t=NULL;
    } 
    else
    {
        *t = (BTree*)malloc(sizeof(BTree));//创建新的节点
        (*t)->data=c;
        createBTree(&(*t)->left);//创建左节点 
        createBTree(&(*t)->right); //创建右节点 
    }
} 
void visit(BTree *t)
{
    printf("%c ",t->data);
} 

//前序遍历
preOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    visit(t);//遍历根
    preOrder(t->left);//访问左子树
    preOrder(t->right);//访问右子树    

} 
//中序遍历
void inOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    inOrder(t->left);
    visit(t);
    inOrder(t->right);
} 
//后续遍历
void postOrder(BTree *t)
{
    if(t==NULL)
        return;
    postOrder(t->left);
    postOrder(t->right);
    visit(t);
} 

int main()
{
    BTree *t= NULL;
    printf("请输入二叉树，#表示结束:\n");
    createBTree(&t);
    printf("前序遍历为: ");
    preOrder(t);    
    printf("\n");
    printf("中序遍历为: ");
    inOrder(t); 
    printf("\n");
    printf("后序遍历为: ");
    postOrder(t);   
    printf("\n");
    system("pause");
    return 1;   
}

运行结果