【算法与数据结构】343、LeetCode整数拆分

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一、题目

二、解法

  思路分析：博主做这道题的时候一直在思考，如何找到$k$个正整数，$k$究竟为多少合适。从数学的逻辑上来说，将$n$均分为$k$个数之后，$k$个数的乘积为最大（类似于相同周长下，正方形的面积大于长方形，严格的数学证明不深究了）。本题如果用动态规划的方式，令$dp[i]$表示为最大的整数乘积，那么一定可以找到一个$dp[i-j]$，使得$dp[i-j]\ast j$最大，并赋值给$dp[i]$。而$dp[i-j]$又可以进行类似操作，那么可以一直追溯到$dp[0],dp[1],dp[2]$。当然，本题当中$dp[0],dp[1]$没有意义，$dp[2]=1$。除了$dp[i-j]\ast j$可以得到$dp[i]$以外，$(i-j)\ast j$也可以得到$dp[i]$，然后我们在每次递归的过程中比较上次的$dp[i]$找到最大值。因此，$dp[i]=max(dp[i],max(dp[i-j]\ast j,(i-j)\ast j))$。同时，因为0和1没有意义，$i$从3开始循环，到$n$。$j$只要循环到$i/2$即可。
  程序如下：

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

三、完整代码

# include 
# include 
using namespace std;

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

int main() {
	Solution s1;
	int n = 10;
	int result = s1.integerBreak(n);
	cout << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

end