现代密码学基础(2)

目录

一. 介绍

二. 举例:移位密码

(1)密文概率

(2)明文概率

三. 举例:多字母的移位密码

四. 完美安全

五. 举例:双子母的移位密码

六. 从密文角度看完美安全

七. 完美保密性质


一. 介绍

在密码学中,K代表密钥,M代表明文,C代表密文,每个都有各自的概率分布。

密钥是通过密钥生成算法Gen产生的,通常而言都是均匀且随机的形式选择密钥,如下:

Pr[K=k]

明文的分布通常跟密码方案是无关的,而是跟加密/解密方相关,也可以看成敌手(adversary)的不确定性,如下:

Pr[M=m]

比如,军队传递消息,明文可能是以下两者之一:

attack today                   don't attack

这两者的概率有可能也不一样,比如:

Pr[M=attack today]=0.7           Pr[M=don't attack]=0.3

密钥K是由密码方案决定的,也就是由Gen确定。明文M取决于外部条件,所以,密钥K和明文M分布上通常是互相独立的。

当确定了加密方案和明文分布,那么密文分布也就确定了,如下:

c\leftarrow Enc_k(m)

或者写做:

Pr[C=c]

二. 举例:移位密码

移位密码,写做shift cipher,在网络安全领域很常见

假定密钥K只有26种情况,K={0,...,25},每个密钥取到的概率均相等,也就是:

Pr[K=k]=1/26

假定明文只有两种情况a和z,其概率分布满足如下:

(1)密文概率

请分析密文为B的概率?

解:

当密文为B时,很明显只有两种情况可能:

明文M=a,且密钥K=1

明文M=z,且密钥K=2

根据明文M和密钥K之间是互相独立的,可计算:

现代密码学基础(2)_第1张图片

第一个等号:M与K之间的独立

第二个等号:带入明文的概率以及密钥的概率

同理可计算另一种情况为:

综合两者情况相加可得:

现代密码学基础(2)_第2张图片

(2)明文概率

当看到密文是B时,请推断明文为a的概率?

解:

很明显该题为条件概率。根据Bayes定理,可得:

现代密码学基础(2)_第3张图片

第一个等号:条件概率的性质

第二个等号:明文为a的概率为0.7,密文为B的概率第一问已经计算完

如果给定明文M=a时,只有当密钥K=1,其概率为1/26时,密文才是C=B,所以可得:

Pr[C=B|M=a]=1/26

三. 举例:多字母的移位密码

如刚才的例题,我们还是采纳移位密码,但此时明文M的分布如下:

请求密文C=DQQ的概率?

解:

只有两种情况可以保证密文C=DQQ。

情况1:明文M=ann,密钥K=3

情况2:明文M=boo,密钥K=2

容易计算以上概率为:

0.2\cdot 1/26+0.3\cdot1/26

当然如果想计算当看到密文为DQQ时,明文为ann的概率,依旧可以使用Bayes定理计算:

Pr[M=ann|C=DQQ]=0.4

四. 完美安全

完美安全,Perfect secrecy

假设敌手已知明文M的概率分布,加密方案也是全局公开的。敌手唯一不知道的就是所使用的密钥。

首先一个诚实用户选择明文并加密,接着把该密文传递给另外一方,在这其中敌手可以进行窃听并获得密文,也就是一种唯密文攻击(ciphertext-only attack)。完美安全要求敌手在获得密文后,不能知道其中的明文。换句话说,已知密文推明文的后验概率(posteriori probability)跟明文本身的前验概率(priori)是一样的。

以上表明密文不会泄露明文的任何信息,形式化的定义如下:

现代密码学基础(2)_第4张图片

其中Pr[C=c]>0只是保证条件概率的分母不为0

五. 举例:双子母的移位密码

证明:双子母的移位密码无法实现完美安全

解:

该题的本质则是证明:

其实很容易证明。我们此处举一个简单的例子,假设明文有两种情况aa或者是ab

很明显当密文为XX时,其明文绝对不可能是ab,也就是:

Pr[M=ab|C=XX]=0

但是:

Pr[M=ab]=1/2

证明完毕

六. 从密文角度看完美安全

如果密文的分布与明文分布无关,其实也能说明完美安全性。

假定有两个明文m和m',如下:

m,m'\in M

如果加密明文m形成的分布,与加密m'形成的密文分布一样的话,则可以得到:

注意以上概率分布来源于密钥K的选择以及加密算法Enc的随机性。也就是以上概率分布仅取决于加密方案,与明文分布M无关。换句话说,密文不包含明文m的任何信息,从而无法区分m和m'形成的密文,这不就是完美保密性想表达的内容。

七. 完美保密性质

推论

给定明文空间为M,加密方案为(Gen,Enc,Dec),如果以上m与m'的条件满足的话,那么该密码方案是完美安全的(perfect secret)

证明:

首先所有的概率均为正数:

Pr[M=m]>0

已知明文推断密文的概率可计算为:

现代密码学基础(2)_第5张图片

第一个等号:密文随机变量C的定义

第二个等号:明文M=m

第三个等号:密钥K与明文M相互独立

以上概率为:已知明文m,遍历密钥空间K,使其加密结果刚好为c

根据条件概率的性质,可得:

证明充分性。

已知完美安全性,所以可得:

带入上式子,可得:

Pr[C=c|M=m]=Pr[C=c]

由此进一步可得:

现代密码学基础(2)_第6张图片

充分性证明完毕。

证明必要性:

如果明文m的概率恰好为0时,可得:

如果明文m的概率非0时,定义一个新的概率如下:

p_c=Pr[Enc_K(m)=c]

由此可计算为:

现代密码学基础(2)_第7张图片

必要性证明完毕。

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