几何_直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A，B，C几何含义是？

参考： 直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A，B，C有什么几何含义？_设直线 l 的方程为ax+by+c=0 怎么理解-CSDN博客

1. A B的含义：组成一个与直线垂直的向量

我们先来看A和B有什么含义。

在直线上取任意两点 P1:（x1, y1）和 P2:（x2, y2），得：

Ax1 + By1 + C = 0
Ax2 + By2 + C = 0

两式相减得：

A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0

设O为圆点（0，0）, 则：

两个向量的内积是0，根据内积的几何意义，这两个向量必然垂直。

因此，系数A，B组成的向量是一个垂直于直线的向量。

所以当V2与V1垂直时，V2在V1上的投影长度为0，V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性，即投影与V1同向，投影长度为正，投影与V1反向，投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断，两个向量的夹角范围：

值为正：> 0度 && < 90度
值为0：= 90度
值为负：> 90度 && < 180度

2. C的含义：决定原点到该直线的距离

当 时，原点到该直线的距离为-C

好了，回到线性方程 Ax + By = -C，将其写成向量式：

3. 应用：直接写出一个点到一条直线的距离

知道了该几何性质，我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。

步骤如下：假设空间任意一点P，做一条平行于已知直线（Ax+By+C=0）并且经过点P的新的直线

A′x + B′y =C′

计算出原点距新直线的距离：

两距离相减得任意一点P距离原直线的距离：

点(x0,y0)到直线(Ax+By+C=0)的距离一般公式：

点到直线距离一般公式推导：

 

参考：点到直线距离公式的几种推导 - 知乎