算法期末复习总结

一、概论

• 算法是一系列解决问题的明确指令

算法的特点

1. 输入：>=0
2. 输出：>=1
3. 确定性
4. 有限性
5. 可行性

二、算法效率分析

2.1算法分析框架

• 运行时间
• 输入规模
• 算法的效率函数
• 最好情况、最坏情况、平均情况

• 平均复杂度
  

2.2 三种渐进符号

1. O(g(n))：增长的比g(n)慢（或等于）

• n ∈ O(n²)

2. Ω(g(n))：增长的比g(n)快（或等于）

• n³ ∈ Ω(n²)

2.3 非递归算法的效率

1. 决定用哪个参数表示输入规模
2. 找出算法的基本操作
3. 检查基本操作的的执行效率是否只依赖于输入规模。
4. 建立一个算法基本操作执行次数的求和表达式
5. 用求和运算的标准公式和法则建立一个操作次数的闭合公式，或至少确定其增长次数

2.4 递归算法的效率

1. 确定用哪个参数作为输入规模的度量标准
2. 找出算法的基本操作
3. 检查对相同规模的不同输入，基本操作的执行次数是否可能不同。如果可能，则最好情况、最坏情况和平均情况要分开讨论
4. 对算法基本操作的执行次数建立一个递推关系及初始条件
5. 解递推公式，或至少确定其增长次数

三、蛮力法

3.1 选择排序

3.2 冒泡排序

3.3 穷举法

旅行商问题（TSP）

• 问题：找出一条n个给定城市间的最短路径，使我们在回到出发点的城市之前，对每个城市都只访问一次
• 实质上是求图的最短哈密顿回路的问题

背包问题

• 给定n个重量为w₁,w₂…,w_n，价值为v₁,v₂…,v_n的物品和一个承重为W的背包，求这些物品中一个最有价值的子集，且能装入背包中
  

分配问题

• n个任务分给n个人，一个任务对应一个人，将第j个任务分配给第i个人的成本是C[i,j]，求总成本最小的分配方案
  

四、递归算法

1. 减常数因子

• T(n) = T(n-1) + f(n）

• T(n) = aT(n/b) + f(n）
  

五、分治法

1. 将一个问题划分为同一类型的若干子问题
2. 对子问题求解（递归）
3. 有必要的话，合并子问题的解，得到原答案的解
   

• 通用分治递推式：T(n) = aT(n/b) + f(n)
  

5.1 大整数相乘

• 问题：两个n位的大整数相乘
  
  
  

5.2 Stranssen矩阵乘法

5.3 二分搜索

5.4 归并排序

5.5 快速排序

5.6 棋盘格问题

六、减治法

6.1 减去一个常量

插入排序

• 最坏：θ(n²)
• 最好：θ(n)
• 平均：θ(n²)

拓扑排序

1. 执行一次DFS，并记住顶点退出栈的顺序，该顺序反过来就是拓扑排序的一个解
   
   
2. 减治法：不断取出源（没有输入边的顶点）
   
   

6.2 减去一个常量因子

二分查找

• 时间复杂度：logn

假币问题

• 问题：在n个钱币中找出一个假币
• 思路：不断分为两堆进行称重（同二分查找）

俄罗斯农民问题

• 问题：计算n*m
  
  

6.3 减去的规模是可变的

七、变治法

7.1 实例化简

预排序

• 寻找唯一的元素
  
• 找mode（出现次数最多）

高斯消去法

堆排序

7.2 改变表现

霍纳法则

7.3 问题化简

线性规划

简化为图

八、回溯法和分支限界法

8.1 DFS

8.2 BFS

8.3 回溯法

0-1背包问题

TSP问题

n皇后问题

8.4 分支限界法

0-1背包问题

装载问题

8.5 方法比较

九、动态规划

• Bellman原理（最优性原理）：求解问题的一个最优策略序列的子策略序列总是最优的

例：

• Fibinacci
  
  
  

• 两个重要的适用性质：最优子结构、重叠子问题
  

9.1 计算二项式系数

9.2 最长公共子序列（LCS）

9.3 动态矩阵相乘

9.4 0-1背包问题

9.5 多阶段决策问题

Forward

Backward

Warshall（求传递闭包）

Floyd（求最短路径）

9.6 最优性原理的证明

十、贪心技术

• 思想：一步步的局部最佳策略可能导致一个最优的结果
  

10.1 活动安排问题

10.2 背包问题

10.3 Dijstra算法

10.4 Prim算法

• 最小生成树：将所有顶点都连起来，且边的权重最小
• Prim：当需要新加节点时，选择最短的边加入

10.5 Kruskal算法

• 将所有边按权重由小到大排序，每次选最小的边，直到所有的顶点都被连起来