合并K个升序链表(LeetCode 23)

文章目录

  • 1.问题描述
  • 2.难度等级
  • 3.热门指数
  • 4.解题思路
    • 方法一:顺序合并
    • 方法二:分治合并
    • 方法三:使用优先队列合并
  • 参考文献

1.问题描述

给你一个链表数组,每个链表都已经按升序排列。

请你将所有链表合并到一个升序链表中,返回合并后的链表。

示例 1:

输入:lists = [[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]
输出:[1,1,2,3,4,4,5,6]
解释:链表数组如下:
[
  1->4->5,
  1->3->4,
  2->6
]
将它们合并到一个有序链表中得到。
1->1->2->3->4->4->5->6

示例 2:

输入:lists = []
输出:[]

示例 3:

输入:lists = [[]]
输出:[]

2.难度等级

Hard。

3.热门指数

★★★★☆

4.解题思路

方法一:顺序合并

我们可以想到一种最朴素的方法,依次将链表数组中的链表与最终结果合并。问题便退化成合并两个有序链表。

如何合并两个有序链表呢?

遍历两个链表选择值较小的结点链接到结果链表中即可。当一个节点被添加到结果链表之后,将对应链表中的节点向后移一位。

为了简化对结果链表边界条件的判断,可以引入哨兵结点。哨兵结点的 Next 指针便是结果链表的头结点。

遍历 list1 或 list2 链表,选择 list1 与 list2 链表当前结点值较小的结点,挂接到结果链表,并将较小结点后移一位。
如果有一个为空,结束遍历,则将未遍历完的链表,直接挂接到结果链表。

时间复杂度: 假设每个链表的最长长度是 n。在第一次合并后,结果链表的长度为 n;第二次合并后,结果链表的长度为 2n,第 i 次合并后,结果链表的长度为 in。第 i 次合并的时间代价是 O(n+(i−1)×n)= O(in),那么总的时间代价为
O ( ∑ i = 1 k ( i × n ) ) = O ( ( 1 + k ) ⋅ k 2 × n ) = O ( k 2 n ) O(\sum_{i = 1}^{k} (i \times n)) = O(\frac{(1 + k)\cdot k}{2} \times n) = O(k^2 n) O(i=1k(i×n))=O(2(1+k)k×n)=O(k2n)
故渐进时间复杂度为 O ( k 2 n ) O(k^2n) O(k2n),其中 k 为链表个数。

空间复杂度: 没有用到与 k 和 n 规模相关的辅助空间,故渐进空间复杂度为 O(1)。

下面以 Golang 为例给出实现。

func merge(head1, head2 *ListNode) *ListNode {
	dummyHead := &ListNode{}
	temp, temp1, temp2 := dummyHead, head1, head2
	for temp1 != nil && temp2 != nil {
		if temp1.Val < temp2.Val {
			temp.Next = temp1
			temp1 = temp1.Next
		} else {
			temp.Next = temp2
			temp2 = temp2.Next
		}
		temp = temp.Next
	}
	if temp1 != nil {
		temp.Next = temp1
	} else {
		temp.Next = temp2
	}
	return dummyHead.Next
}

func mergeKLists(lists []*ListNode) *ListNode {
	var head *ListNode
	for _, l := range lists {
		head = merge(head, l)
	}
	return head
}

方法二:分治合并

可以优化方法一,采用分治的方法进行合并。

  • 将 k 个链表配对并将同一对中的链表合并;
  • 第一轮合并以后, k 个链表被合并成了 k 2 \frac{k}{2} 2k个链表,然后是 k 4 \frac{k}{4} 4k 个链表, k 8 \frac{k}{8} 8k 个链表等等。
    重复这一过程,直到我们得到了最终的有序链表。
  • 重复这一过程,直到我们得到最终的有序链表。

合并K个升序链表(LeetCode 23)_第1张图片
时间复杂度: 考虑递归「向上回升」的过程,每一轮合并的时间复杂度都是 O(kn),需要合并 logk 轮,所以总的时间复杂度是 O(kn*logk)。

空间复杂度: 递归会使用到 O(log⁡k) 空间代价的栈空间。

下面以 Golang 为例给出实现。

func merge(head1, head2 *ListNode) *ListNode {
	dummyHead := &ListNode{}
	temp, temp1, temp2 := dummyHead, head1, head2
	for temp1 != nil && temp2 != nil {
		if temp1.Val < temp2.Val {
			temp.Next = temp1
			temp1 = temp1.Next
		} else {
			temp.Next = temp2
			temp2 = temp2.Next
		}
		temp = temp.Next
	}
	if temp1 != nil {
		temp.Next = temp1
	} else {
		temp.Next = temp2
	}
	return dummyHead.Next
}

func divideMerge(lists []*ListNode, l, r int) *ListNode {
	if l == r {
		return lists[l]
	}

	mid := (l + r) / 2
	// 合并左链表
	lhead := divideMerge(lists, l, mid)
	// 合并右链表
	rhead := divideMerge(lists, mid+1, r)
	// 合并左右链表
	return merge(lhead, rhead)
}

func mergeKLists(lists []*ListNode) *ListNode {
	if len(lists) == 0 {
		return nil
	}
	if len(lists) == 1 {
		return lists[0]
	}
	return divideMerge(lists, 0, len(lists)-1)
}

方法三:使用优先队列合并

这个方法和前两种方法的思路有所不同,我们需要维护当前每个链表没有被合并的元素的最前面一个,kkk 个链表就最多有 kkk 个满足这样条件的元素,每次在这些元素里面选取 val\textit{val}val 属性最小的元素合并到答案中。在选取最小元素的时候,我们可以用优先队列来优化这个过程。

时间复杂度: 考虑优先队列中的元素不超过 k 个,那么插入和删除的时间代价为 O(log⁡k),这里最多有 kn 个结点,对于每个结点都被插入删除各一次,故总的时间代价为 O(kn*log⁡k)。

**空间复杂度:**这里用了优先队列,优先队列中的元素不超过 k 个,故渐进空间复杂度为 O(k)。

下面以 C++ 为例给出实现。

class Solution {
public:
    struct Status {
        int val;
        ListNode *ptr;
        bool operator < (const Status &rhs) const {
            return val > rhs.val;
        }
    };

    priority_queue <Status> q;

    ListNode* mergeKLists(vector<ListNode*>& lists) {
        for (auto node: lists) {
            if (node) q.push({node->val, node});
        }
        ListNode head, *tail = &head;
        while (!q.empty()) {
            auto f = q.top(); q.pop();
            tail->next = f.ptr; 
            tail = tail->next;
            if (f.ptr->next) q.push({f.ptr->next->val, f.ptr->next});
        }
        return head.next;
    }
};

参考文献

23. 合并K 个升序链表 - LeetCode

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