贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理、公式推导及matlab代码实现

目录

参考链接

定义

直观理解

 公式推导

一次贝塞尔曲线（线性公式）

二次贝塞尔曲线（二次方公式）

 三次贝塞尔曲线（三次方公式）

n次贝塞尔曲线（一般参数公式）

代码实现

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参考链接

贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导_bezier曲线-CSDN博客

贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理、公式推导及matlab代码实现-CSDN博客

贝塞尔曲线——这个是可以在线控制点来绘制贝塞尔曲线的网站

定义

贝塞尔曲线用于计算机图形绘制形状，CSS 动画和许多其他地方。

贝塞尔曲线(Bezier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点。通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线，在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。

1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的一些特性：

• 使用个控制点来控制曲线的形状
• 曲线通过起始点 和终止点，接近但不通过中间点

• 曲线的阶次等于控制点的数量减一。 对于两个点我们能得到一条线性曲线（直线），三个点 — 一条二阶曲线，四个点 — 一条三阶曲线。

• 曲线总是在控制点的凸包内部：

由于最后一个属性，在计算机图形学中，可以优化相交测试。如果凸包不相交，则曲线也不相交。因此，首先检查凸包的交叉点可以非常快地给出“无交叉”结果。检查交叉区域或凸包更容易，因为它们是矩形，三角形等（见上图），比曲线简单的多。

直观理解

Step 1. 在二维平面内选三个不同的点并依次用线段连接

​

Step 2. 在线段和上找到、两点，使得

​

 Step 3. 连接，并在上找到点，使其满足（抛物线的三切线定理）

​

Step 4. 找出符合上述条件的所有点

​

 上述为一个二阶贝塞尔曲线。同样的有阶贝塞尔曲线：

曲线	图示
一阶	​
二阶	​
三阶	​
四阶	​
五阶	​

 公式推导

一次贝塞尔曲线（线性公式）

定义：给定点、，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下式给出，且其等同于线性插值：

​

其中，公式里的、同步表示为其或轴坐标。

假设坐标为，坐标为，坐标为，则有：

 

同理有：

于是可将上式简写为：

二次贝塞尔曲线（二次方公式）

定义：二次贝塞尔曲线的路径由给定点、、的函数给出：

​

 假设、上的点为，、上的点为，上的点为（也即为曲线上的点。则根据一次贝塞尔曲线公式有：

将上式中、带入中，即可得到二次贝塞尔曲线的公式：

 三次贝塞尔曲线（三次方公式）

同理可得三次贝塞尔曲线公式：

n次贝塞尔曲线（一般参数公式）

定义：给定点、、，则次贝塞尔曲线由下式给出：

​

n次贝塞尔曲线的公式可由如下递归表达：

 

进一步可以得到贝塞尔曲线的递推计算公式：

代码实现

首先来看不同阶数的贝塞尔曲线公式，来找共同点：

N=2:         

N=3:         

N=4:        

可将贝塞尔曲线一般参数公式中的表达式用如下方式表示：
设有常数 a,b 和 c，则该表达式可统一表示为如下形式：

根据上面的分析就可以总结出 a,b,c 对应的取值规则：

b: 递减到 0 (b 为 1-t 的幂)
c: 0 递增到 (N - 1) (c 为 t 的幂)
a: 在 N 分别为 1,2,3,4,5 时将其值用如下形式表示： 

N=1:---------1
N=2:--------1 1
N=3:------1 2 1
N=4:-----1 3 3 1
N=5:---1 4 6 4 1
a 值的改变规则为： 杨辉三角

-------------------------------------------------------------------

理论基础有了，开始写代码

a 值用杨辉三角计算，b ，c 值在for 循环里计算，从传入的点坐标读取。

step1：首先使用杨辉三角的方式生成a值
 

    N = len(control_points)
    ta = np.zeros((N, N))

    # 初始化杨辉三角左右两边的值为1
    for i in range(N):
        ta[i, 0] = 1
        ta[i, i] = 1

    # 计算杨辉三角
    for row in range(2, N):
        for col in range(1, row):
            ta[row, col] = ta[row-1, col-1] + ta[row-1, col]

step2：生成贝塞尔曲线上的点

    p = np.zeros((M, 2))

    for i in range(M):
        t = i / M  # 确定每一个点的比例
        for k in range(N):
            c = k  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            b = N - c - 1  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            a = ta[N-1, k]  # 分别确定 a, b, c 三个系数

            # 确定点的 x 和 y 坐标
            p[i, 0] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]
            p[i, 1] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]

完整代码

# N表示控制点个数，M表示时间步
import numpy as np
from scipy.special import comb

def calculate_bezier_curve(control_points, M=1000):
    N = len(control_points)
    ta = np.zeros((N, N))

    # 初始化杨辉三角左右两边的值为1
    for i in range(N):
        ta[i, 0] = 1
        ta[i, i] = 1

    # 计算杨辉三角
    for row in range(2, N):
        for col in range(1, row):
            ta[row, col] = ta[row-1, col-1] + ta[row-1, col]

    p = np.zeros((M, 2))

    for i in range(M):
        t = i / M  # 确定每一个点的比例
        for k in range(N):
            c = k  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            b = N - c - 1  # 分别确定 a, b, c 三个系数
            a = ta[N-1, k]  # 分别确定 a, b, c 三个系数

            # 确定点的 x 和 y 坐标
            p[i, 0] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 0]
            p[i, 1] += a * (1 - t)**b * t**c * control_points[k, 1]

    return p

# 示例调用
control_points = np.array([(0, 0), (1, 2), (2, 0)])
result_points = calculate_bezier_curve(control_points)

# 打印结果
print(result_points)

# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(result_points[:, 0], result_points[:, 1], label='Bezier Curve')

下图是一个生成的二阶贝塞尔曲线（有3个控制点）

​

 另外一种实现方式：

def bezier_curve(points, n_times=1000):
    """
    Generate a Bezier curve from control points.
    Args:
    points (list of tuples): control points.
    n_times (int): number of time steps (resolution of the curve).
    Returns:
    list of tuples: points on the bezier curve.
    """
    n_points = len(points)
    t = np.linspace(0, 1, n_times)

    curve = np.zeros((n_times, 2))
    for i in range(n_points):
        binom = comb(n_points - 1, i) # 计算二项式系数，即组合数。表示从 n_points - 1 个元素中选择 i 个元素的方式有多少种。
        curve += np.outer(binom * (t ** i) * ((1 - t) ** (n_points - 1 - i)), points[i])
    return curve

control_points1 = [(0, 0), (1, 2), (2, 0)]
bezier1 = bezier_curve(control_points1)
print(bezier1)