用遗传算法做数独求解器

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用遗传算法做数独求解器

 

I 闲话在前

我不知道有多少人曾经试过这种方法，但我在网上没有找到过类似的内容。

刚开始接触遗传算法的时候，根本不知道他到底有什么用，只知道是个很好玩的算法。于是乎，第一时间想到了拿这东西解数独，但经过N次尝试失败后，放弃了。

前几天群里有人偶尔又提到遗传算法，于是便又想起了之前的那个数独问题，并再次尝试用新方法解决问题。

 

II 解决方案

首先提一下之前失败的例子。

在我想到的第一种解决方案中首先想到了是把要填的数提出来，做成一个随机序列。拿下面这个数独为例：

 

 

在这里例子中，从左到右、自上到下依次缺少的数字为：

然后把这些数字随机生成一个字串，位置不做控制。

第二种方式我才去了二进制方式，首先查看数独中有多少个空位，然后生成N（N为空位数量）组八位二进制数据，对数据进行拼接，所以在我第二种方法中看到的是下面这样的数据。

每组二进制数据转换为整形后得到的是0-255之间的数字，然后乘以系数0.03515625（9/256得到）加1就会得到1-9之间任意数。

这两种效果都不是很理想，第一种方式也许有万分之一的几率能算出正确结果（因为我在运行的时候确实算出过一次），正常情况下很看出结果。第二种出结果的几率更小，因为在第二种结构中，存在的一个致命弊端就是错误数据。

所以我放弃了这两种方式，第三种方式中，我采用了和第一种方式类似的结构形式，以块为单位，计算出每块中缺失数字，然后以组的方式拼串，得到如下数据（块从上到下、从左到右的方式排列，因为在我计算块的时候方向搞错了，也懒得改，就这么些了，不影响计算）：

下面我要介绍的就是第三种排列方式，所以正文从这里开始！

 

1．数独

在这里，还是有必要介绍一下数独，不过本节可以跳过，因为我也是复制百度百科的，哈哈！

九宫格数独，是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。这种游戏全面考验做题者观察能力和推理能力，虽然玩法简单，但数字排列方式却千变万化，所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。

数独游戏我玩过很多，最嚣张的一次用了不到三分钟解决简单级别的游戏，不过我所知道最牛的人只用一份二十秒就搞定的。如果不考虑遗传算法，用暴力破解法（也就是遍历），最困看的数独计算都是不需要话费时间的，我以为朋友为了证明效率，专门写了一个遍历的方法，非常简单，但是非常有效，我想网上的求解器大多也是用这种方式吧。

2．问题转化

数独横向、纵向、小块中只允许填写1-9之间不重复的数字，首先我们只需要确定出一种数据来即可（横向、纵向或是小块），这是非常简单的，然后我们通过调整小块中的数据，来得到其他两种数据。

3．编码方式

上面已经提到过我这次用到的编码方式，以小块为单位（就是我先计算出来的那种数据）进行数据随机排列，这种数据格式的要求就是首先要保证组与组的顺序不能乱，再次要保证每组中的数据只能是位置条换，不能改成其他数字。这就有别于第一种编码方式了，因为在第一种编码方式中数据是不分组的，也就意味着可能有九个9同时出现在第一块中，效率太低。

4．群体

我习惯叫这个东西部落，可能是因为玩《孢子》太多的缘故吧。一个部落中存在多个个体，数量上我记得有个前辈说过，部落的大小取决于基因的长短，一般部落大小是基因的4-5倍合适，但是我经试验，发现我的算法一般群体小的话收敛太慢，但太大的话计算起来又太慢，所以做到10-20倍就差不多了，在看神经网络的时候看到过这样一句话：你只能把任何建议当作不可全信的东西，主要还要靠自己的不断尝试和失败中获得经验。

群体初始化完全是随机的，但是要遵循编码方式的两个原则：1．分组顺序不能乱，2．组中单个数据不能改。

5．选择与交叉

选择上我用的比较多的还是轮盘赌，这个我就不细说了，不知道的可以百度百科看一下什么叫轮盘赌，或者重新学习一下遗传算法。

首先在染色体中随机选择两个位置，然后把父代染色体进行按位置交叉运算，如下图：

红色位要交叉位（开始位为3，结束位为13，这里由于空间原因只写部分基因）

交叉后得到

我们看到，在交叉后第一组数据和最后一组数据中产生了错误信息，就是重复位，所以，我们下一步要做的就是把错误的基因更正过来，做法如下：

我们首先查看未交叉部分的基因与交叉部分那些基因产生了重复，在我们这个例子中，个体C中的2产生了重复，而交叉部分中，2对应的基因是5，那么我们就把未交叉部分的2改成5，于是得到：

（我尽量把这部分说细写，因为肯能会有些绕）

更正后又发现，5产生了重复，而交叉部分的5对应的基因是9，那么我们再次把5（第二位）换成9，于是得到：

更正有发现9仍然重复，交叉部分的9对应的基因是6，那么再次把9换成6，得到如下个体

到此为止，第一组基因的错误被更正，但是在最后一组中仍然有错误基因，在个体D中也存在错误基因，我们再依次更正，得到修正后的个体如下：

中间所有基因都参与交换的组我们不用管，因为其中不会产生错误数据。

一般交叉率会被设置在70%左右，还是那句话，试验才是正道，自己做不同的交叉率试试看，哪种适合自己用哪种。

（这部分讲的有些啰嗦，如果看不懂的可以Mail我[email protected]，或是去我的博客提问，http://hi.baidu.com/2427）

6．变异

变异操作十分简单，只要随机选中一组数字，然后再这个组中随机选择两位进行交换就行了，以下是操作方式

选中变异组为第一组，变异位分别是第二位和第五位，变异后得到

一般变异率在1%到0.1%之间，自己做试验看吧。

变异是为了方式部落陷入局部最优中，这样到死都算不出结果了。群里有位朋友说过，有一种机制可以防止局部最优，就是在每次繁殖后都加入一些新的随机个体，但是我感觉这样会违反遗传算法的一些理论，没有采纳，不过在局部最优产生的时候（或是个体同质化严重的时候）采用这个方法还是不错的。

7．计算

这个我放到逻辑的最后来讲了，其实他和选择是息息相关的，计算方法的忧虑决定了算法的收敛速度，我的算法可能不是最好的，但是我可以为初学者提供一种不错的解决方式。

在轮盘赌中，被选中的几率取决于个体所占区域的大小，而区域的大小是根据个体得分决定的，所以计算得分成了关键。在本例中，我用了减分法进行计算，总分为144分（一会介绍为什么是144分），然后计算每行和每列中出现过多少重复，每出现一次重复减一分。所以这里就看出了我的144分是怎么计算的，每行或每列最多出现重复的数量是8，所以单、列减分就是8,8分*18组=144分。当然，在我提出这个算法的时候有个朋友告诉我说64分就可以了，因为不可能出现所有空格中都出现一个数字的情况。不过这种方法我没细考虑呢，或许他是对的，各位看官验证吧。考虑到这种比分在论盘中体现出来的差习性会很小，所以可以把得分做平方处理，这样会出现指数型变化，让小的越小，大的越大，也许这种方式是不科学的，但是值得去尝试。另外啰嗦一句，我再刚开始做的时候想到了把得分乘3，但后来改正了，因为这中计算方式并不能让区域产生变化。

 

8．进化

一切准备就绪了，开始进化吧，下面是我这种方法的进化图，分别体现出了最优个体、最劣个体和平均得分。

 

 

图中的进化在495代（这个代不准确，懒得改了）算出真确结果，一般情况下在一千代之内才能算出接过来，效率非常低，因为在最开始的时候我忘了一件事，把上一代的最优个体带入，这是很关键的，通过下面这个图你就能比较出来了。

 

 

看到所有线几乎都是直线飙升上去的，一般在一百代之内就能算出结果来，这个截图线飚的还不是太好，我一次用了32代就做出来了，那条线才叫漂亮。

我最优个体选择了5%，这个比率自己做试验看一下，带的太多了容易让结果跑到局部最优，或者是收敛太慢，太少了达不到效果。

 

结束语

在我这个算法中也存在一些没有解决的问题，就是效率，有时在运算的时候线可能会飚直了，这就是局部最优产生了，有一次我计算的时候竟然三个线飚到了一起了，这是非常致命的，期待高手对算法进行优化。

就啰嗦到这吧，文采太差劲了，不适合写教程，有不明白的或是想讨论一下的mail我吧（[email protected]）。

我的源程序放在了CSDN的下载频道，叫《用遗传算法做数独求解器》，需要的可以下载。

http://download.csdn.net/source/2805016

 

到此为止，期待高手改正算法和文章中的错字，谢谢您的耐心！