【第一章】数字信号处理之绪论 基础必备知识
对应程佩青《数字信号处理教程》第一章 绪论，对一些其它课程没有涉及的知识点进行总结，在之后的学习中它们是基础。
 ] = y ( n ) ↔ { T [ x ( n − m ) ] = y ( n − m ) ，移不变 T [ x ( D n ) ] = y ( D n ) ，线性 T[x(n)]=y(n)\leftrightarrow \begin{cases}T[x(n-m)]=y(n-m)，移不变\\T[x(Dn)]=y(Dn)，线性\end{cases} T[x(n)]=y(n)↔{T[x(n−m)]=y(n−m)，移不变T[x(Dn)]=y(Dn)，线性，为线性移不变系统LSI。
T [ ] T[] T[]是一个算子，类比于映射关系 f : y = f ( x ) f:y=f(x) f:y=f(x)，不能将其等同于 y ( n ) y(n) y(n)，我们要判断的是 x ( n ′ ) x(n') x(n′)通过 T [ ] T[] T[]的结果是否与 y ( n ′ ) y(n') y(n′)相同（输入移位/加权后通过系统的结果是否与此前的输出直接移位/加权的结果相同）
输入 x ( n ) x(n) x(n)经过算子（系统）后的 y ( n ) y(n) y(n)只变n，不改符号，不动常数，则为LSI系统。
通过下面的两个例子能够很好地理解LSI系统的判定准则
程佩青《数字信号处理教程》（第五版）中第32页的例1.14给出了一种判定准则
这里的 y ( n ) y(n) y(n)实际上只是表示 y y y是关于 n n n的函数，回顾 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)没有 y ( x ) y(x) y(x)的说法，因此对经过系统后的结果 y ( n ) = T [ x ( n ) ] y(n)=T[x(n)] y(n)=T[x(n)]进行平移是将整个 n n n作代换，不同于序列 x ( n ) x(n) x(n)或 y ( n ) y(n) y(n)的移位。
再看同一本书第57页配套的习题1.6(5)
配套出版的《数字信号处理教程习题分析与解答》却告诉我们 y ( n ) = x ( n 2 ) y(n)=x(n^2) y(n)=x(n2)为线性移不变系统，这似乎与上一道例题的判定准则给出的结论是相悖的。
按照上一道题的思路，设 y 1 ( n ) = x 1 ( n 2 ) y_1(n)=x_1(n^2) y1(n)=x1(n2)，对于输入 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n)移动 m m m位得新的输入 x 2 ( n ) = x 1 ( n − m ) x_2(n)=x_1(n-m) x2(n)=x1(n−m)，则 y 2 ( n ) = x 2 ( n 2 ) = x 1 ( n 2 − m ) y_2(n)=x_2(n^2)=x_1(n^2-m) y2(n)=x2(n2)=x1(n2−m)，而 y 1 ( n − m ) = x 1 [ ( n − m ) 2 ] y_1(n-m)=x_1[(n-m)^2] y1(n−m)=x1[(n−m)2]，有 y 2 ( n ) ≠ y 1 ( n − m ) y_2(n)\ne y_1(n-m) y2(n)=y1(n−m)，似乎并不是移不变系统。
如果将输入 x ( n ) x(n) x(n)看作/换作 x ( n 2 ) x(n^2) x(n2)，则可参考下面的答案。
线性移不变系统的应用-单位冲激响应
我们知道 x ( n ) = x ( n ) ∗ δ ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) δ ( n − m ) \begin{aligned}x(n)=&x(n)*\delta(n)\\=&\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)\delta(n-m)\end{aligned} x(n)==x(n)∗δ(n)m=−∞∑∞x(m)δ(n−m)
对于每一项 x ( m ) δ ( n − m ) x(m)\delta(n-m) x(m)δ(n−m)，对于卷积结果 y ( n ) = x ( n ) = x ( n ) ∗ δ ( n ) y(n)=x(n)=x(n)*\delta(n) y(n)=x(n)=x(n)∗δ(n)， x ( m ) x(m) x(m)与 n n n无关，其实为常数，看作 δ ( n − m ) \delta(n-m) δ(n−m)的线性加权因子。而 δ ( n − m ) \delta(n-m) δ(n−m)可以看作是 δ ( n ) \delta(n) δ(n)的移位结果，是系统真正要处理的输入，由LSI系统的移不变性得 L [ δ ( n − m ) ] = h ( n − m ) L[\delta(n-m)]=h(n-m) L[δ(n−m)]=h(n−m)，引出单位冲激响应。
每一项由LSI系统的线性性质的比例性可得 L [ x ( m ) δ ( n − m ) ] = x ( m ) L [ δ ( n − m ) ] L[x(m)\delta(n-m)]=x(m)L[\delta(n-m)] L[x(m)δ(n−m)]=x(m)L[δ(n−m)]
对于整个累加结果由线性的可加性得到 L [ x ( n ) ] = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) L[x(n)]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=x(n)*h(n) L[x(n)]=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)
因果系统和稳定系统
判断是否为因果系统的方法–冲激响应h(n)为因果系统
当n<0时，h(n)=0
y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∫ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) d m = ∫ m = − ∞ n x ( m ) h ( n − m ) d m \begin{aligned}y(n)&=x(n)*h(n)\\&=\int_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)dm\\&=\int_{m=-\infty}^{n}x(m)h(n-m)dm\end{aligned} y(n)=x(n)∗h(n)=∫m=−∞∞x(m)h(n−m)dm=∫m=−∞nx(m)h(n−m)dm
故y(n)的值由小于n的m值来决定，符合因果系统定义
判断系统稳定的方法是判断冲激序列h(n)是否满足绝对可和
∑ n = − ∞ ∞ ∣ h ( n ) ∣ = P < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|=P<\infty ∑n=−∞∞∣h(n)∣=P<∞
系统稳定：有界输入，产生有界输出
证明：若不满足， ∑ n = − ∞ ∞ ∣ h ( n ) ∣ = ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|=\infty ∑n=−∞∞∣h(n)∣=∞
设 x ( n ) = { 1 h ( − n ) ≥ 0 − 1 h ( − n ) < 0 x(n)=\begin{cases}1&h(-n)\ge 0\\-1&h(-n)<0\end{cases} x(n)={1−1h(−n)≥0h(−n)<0
y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)
y ( 0 ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( − m ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∣ h ( − m ) ∣ = ∞ y(0)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(-m)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}|h(-m)|=\infty y(0)=∑m=−∞∞x(m)h(−m)=∑m=−∞∞∣h(−m)∣=∞
卷积和的求法
三种求法
解析+图解法
写成 y ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) y(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m) y(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)的形式
h相当于反折+移位，如果两者都不是有限长可以分为三种情况（画图更好判断）
- 反折后“左减右加”，故当n小于一定值（为负数）时，h整体移动到了x的左侧，两者无交集，卷积和为零
- 当h的右端与x有交集，但没有覆盖整个x时，m的上限取到m，下限由x的下限决定
- 当n大于某个数，h的左端已经移动到了x的左端的右端，完全重合，上下限完全固定，与n无关，分h的右侧是否在x的右侧里外两种情况讨论，实际上是四种情况
列表法
固定m根据函数的界限确定有限个n，列出两个函数的值相乘，同一个n对应的累加得结果
对位相乘相加法
实质上是列表法的简化，讲两个序列的右端对齐，进行类似竖式乘法，直接加得y(n)结果，再根据两个序列的范围确定卷积和结果的范围，来确定原点。
（不需要反转x或者h，m值固定而n从小变大，观察表格相当于n从左向右移动，但进行运算的位固定在右端，如果重新排序的话相当于反转了序列 ）
卷积和范围确定
x ( n ) : N 1 ≤ n ≤ N 2 x(n):N_1\le n \le N_2 x(n):N1≤n≤N2 长度为N
y ( n ) : N 3 ≤ n ≤ N 4 y(n):N_3\le n \le N_4 y(n):N3≤n≤N4 长度为M
则 h ( n ) : N 1 + N 3 ≤ n ≤ N 2 + N 4 h(n):N_1+N_3\le n \le N_2+N_4 h(n):N1+N3≤n≤N2+N4 长度为N+M-1
运用到了“右加”的性质，或直接根据定义式有值判断
典型序列
- 冲激序列 δ ( n ) = { 1 n = 0 0 n ≠ 0 \delta (n)=\begin{cases}1&n=0\\0&n\ne 0\end{cases} δ(n)={10n=0n=0
- 矩形序列 R N ( n ) = u ( n ) − u ( n − N ) R_N(n)=u(n)-u(n-N) RN(n)=u(n)−u(n−N)，在0到N-1上有值
- 正弦序列 x ( n ) = A s i n ( w 0 n + ϕ ) x(n)=Asin(w_0n+\phi) x(n)=Asin(w0n+ϕ)
正弦序列的频率
数字频率和模拟角频率
数字频率 w 0 w_0 w0，单位为rad
模拟角频率 Ω 0 \Omega_0 Ω0，单位为rad/s
w = Ω T = Ω f s = 2 π f f s w=\Omega T=\frac{\Omega}{f_s}=\frac{2\pi f}{f_s} w=ΩT=fsΩ=fs2πf
抽样频率 f s f_s fs， x ( n ) = x a ( n T ) x(n)=x_a(nT) x(n)=xa(nT)
正弦序列的周期性
要使 x ( n + N ) = A c o s [ w 0 ( n + N ) + ϕ ] = x ( n ) x(n+N)=Acos[w_0(n+N)+\phi]=x(n) x(n+N)=Acos[w0(n+N)+ϕ]=x(n)
则 w 0 N = 2 k π w_0N=2k\pi w0N=2kπ
N = 2 π w 0 k = f 0 f s k N=\frac{2\pi}{w_0}k=\frac{f_0}{f_s}k N=w02πk=fsf0k
n和N为整数，k也为整数，就要求 2 π w 0 \frac{2\pi}{w_0} w02π为整数
- 若 2 π w 0 \frac{2\pi}{w_0} w02π为整数， k 2 π w 0 k\frac{2\pi}{w_0} kw02π为最小正周期
- 若 2 π w 0 = p q \frac{2\pi}{w_0}=\frac{p}{q} w02π=qp为有理数，则最小正周期为 q 2 π w 0 = p q\frac{2\pi}{w_0}=p qw02π=p,N不是整数
- 若为无理数，非周期
理想抽样信号的频谱
理想抽样信号 x ^ a ( t ) = x a ( t ) ⋅ δ T ( t ) = x a ( t ) ∑ m = − ∞ ∞ δ ( t − m T ) = ∑ m = − ∞ ∞ x a ( m T ) δ ( t − m T ) \begin{aligned}\hat{x}_a(t)=&x_a(t)\cdot\delta_T(t)\\=&x_a(t)\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT)\\=&\sum_{m=-\infty}^{\infty}x_a(mT)\delta(t-mT)\end{aligned} x^a(t)===xa(t)⋅δT(t)xa(t)m=−∞∑∞δ(t−mT)m=−∞∑∞xa(mT)δ(t−mT)
由傅里叶变换的时域相乘性质得
X ^ a ( j Ω ) = 1 2 π X a ( j Ω ) ∗ F T [ δ T ( t ) ] \hat{X}_a(j\Omega)=\frac{1}{2\pi}X_a(j\Omega)*FT[\delta_T(t)] X^a(jΩ)=2π1Xa(jΩ)∗FT[δT(t)]
求周期函数的傅立叶变换先求其傅立叶级数系数
δ T ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ A k e j k Ω s t \delta_T(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}A_ke^{jk\Omega_st} δT(t)=∑k=−∞∞AkejkΩst
则 A k = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ T ( t ) e − j k Ω s t d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 ∑ m = − ∞ ∞ δ ( t − m T ) e − j k Ω s t d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ ( t ) e − j k Ω s t d t （只在一个周期内积分） = 1 T \begin{aligned}A_k=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta_T(t)e^{-jk\Omega_st}dt\\=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT)e^{-jk\Omega_st}dt\\=&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\delta(t)e^{-jk\Omega_st}dt（只在一个周期内积分）\\=&\frac{1}{T}\end{aligned} Ak====T1∫−2T2TδT(t)e−jkΩstdtT1∫−2T2Tm=−∞∑∞δ(t−mT)e−jkΩstdtT1∫−2T2Tδ(t)e−jkΩstdt（只在一个周期内积分）T1
则其傅里叶变换为 F T [ 1 T ∑ k = − ∞ ∞ 1 ⋅ e j k Ω s t ] = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ F T [ 1 ⋅ e j k Ω s t ] = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ 2 π δ ( Ω − Ω s ) = 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω − Ω s ) = Ω s ∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω − Ω s ) \begin{aligned}&FT[\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}1\cdot e^{jk\Omega_st}]\\=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}FT[1\cdot e^{jk\Omega_st}]\\=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(\Omega-\Omega_s)\\=&\frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\Omega_s)\\=&\Omega_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\Omega_s)\end{aligned} ====FT[T1k=−∞∑∞1⋅ejkΩst]T1k=−∞∑∞FT[1⋅ejkΩst]T1k=−∞∑∞2πδ(Ω−Ωs)T2πk=−∞∑∞δ(Ω−Ωs)Ωsk=−∞∑∞δ(Ω−Ωs)
则 X a ( j Ω ) ∗ Ω s ∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω − Ω s ) = Ω s ∑ k = − ∞ ∞ X a [ j ( Ω − k Ω s ) ] \begin{aligned}&X_a(j\Omega)*\Omega_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\Omega_s)\\=&\Omega_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a[j(\Omega-k\Omega_s)]\end{aligned} =Xa(jΩ)∗Ωsk=−∞∑∞δ(Ω−Ωs)Ωsk=−∞∑∞Xa[j(Ω−kΩs)]
X ^ a ( j Ω ) = 1 2 π X a ( j Ω ) ∗ F T [ δ T ( t ) ] = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X a [ j ( Ω − k Ω s ) ] \begin{aligned}\hat{X}_a(j\Omega)=&\frac{1}{2\pi}X_a(j\Omega)*FT[\delta_T(t)]\\=&\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a[j(\Omega-k\Omega_s)]\end{aligned} X^a(jΩ)==2π1Xa(jΩ)∗FT[δT(t)]T1k=−∞∑∞Xa[j(Ω−kΩs)]