解析几何｜利用正多边形，证明π在3和2之间

【感知得到第 22天之1，总43】

【吴军｜数学通识50讲】23 解析几何｜用代数的方法解决更难的几何题

今天复习小时候学数学最喜欢的坐标系，原来这个方法是大名鼎鼎笛卡尔所建立。一些数学观念的沟通，就可以透过坐标系的解析，让沟通的过程更加顺畅单一。

像是，一元二次方程式有两个解、一个解(重根)、无解这三种情况；三次方程"一定有实数解"，这个笃定论点凭空想象实在也难以理解，这样过去解释不了的问题。从这里，我们就能从坐标系获得【打通经脉】，从数学逻辑思维上的“虚无”，化为现实中眼睛可视的“实”，这个普遍规律。

感悟｜

学数学不是要解题，是要获得融会贯通的能力。不只是本堂课，吴军老师在书中有更进一步说明两个很有名的"超越数"，也就是不是任何一个有理系数多项数的根。这两个有名的超越数就是圆周率(π)和(e)

【作业1】利用正多边形，证明π在3和2之间。

ANS：π(圆周率)，是一个圆的周长和直径的比率，为一个常数，近似3.14159。

用正多边形来证明π的数字，最知名就是阿基米德、曹魏数学家刘徽、祖冲之的割圆方法了。方式是这样的：圆内接正多边形的面积，去无限逼近圆面积并以此求取圆周率(圆的周长和直径的比率)。

Step 1：在圆内作内接正六边形，每边边长均等于半径。

Step 2：在圆内再作正十二边形，从勾股定理，能求得正十二边形的边长。

Step 3：由此类推，圆内接n边形的边长，可推知内接2n边形的边长。

Step 4：从圆内接正n边形每边边长，可求得内接2n边形的面积。

Step 5：如正十二边形的一部分的面积，等于正六边形边长AB乘以半径OD的一半；

Step 6：把n类推，即使边数极多的内接正多边形面积，也都可以一步步求解。

Step 7：圆的面积介于两个可求得的值之间。

Step 8：随着圆内接正多边形边数越来越多，它的周长和面积就逼近于圆周周长和圆面积。

Step 9：由此计算，例如推演至圆内接正96边形，可得比率：(223/71)<π<(22/7)，可知道π是介于3和2之间。

觅儿｜跟吴军老师学数学第20天

2021年6月 10日