图解LeetCode——799. 香槟塔（难度：中等）

一、题目

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

【例如】在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

二、示例

2.1> 示例 1:

【输入】 poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
【输出】 0.00000
【解释】 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

2.2> 示例 2:

【输入】 poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
【输出】 0.50000
【解释】 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

2.3> 示例 3:

【输入】 poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
【输出】 1.00000

提示:

• 0 <= poured <= 10^9
• 0 <= query_glass <= query_row < 100

三、解题思路

4.1> 采用二维dp[][]计算

我们创建一个二维数组dp[i][j]，其中，i表示行号，j表示酒杯编号。

根据题目描述，我们可以知道，针对于第row行第column列（dp[row][column]）的这个酒杯，有机会能够注入到它的“上层”酒杯只会是dp[row-1][column-1]和dp[row-1][column]，那么这里是“有机会”，因为只有这两个酒杯都满了（减1）的情况下，才会注入到dp[row][column]这个酒杯中，所以，我们可以得到状态转移方程为：

dp[row][column] = Math.max(dp[row - 1][column - 1] - 1, 0) / 2 + Math.max(dp[row - 1][column] - 1, 0) / 2。

那么我们从第一行开始计算，逐一可以计算出每一行中每一个酒杯的容量，那么题目的结果就显而易见了。具体操作，如下图所示：

4.2> 采用一维dp[]计算

由于题目只需要获取第query_row行的第query_glass编号的酒杯容量，那么我们其实只需要关注第query_row行的酒杯容量即可，所以，用一维数组dp[]来保存最新计算的那个行中每个酒杯的容量。

计算方式与上面的解法相似，此处就不赘述了。

四、代码实现

4.1> 采用二维dp[][]计算

class Solution {
    public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double[][] dp = new double[query_row + 2][query_row + 2];
        dp[1][1] = poured; // 为了方式越界，下标（0,0）的酒杯我们存放在dp[1][1]的位置上
        for (int row = 2; row <= query_row + 1; row++) {
            for (int column = 1; column <= row; column++) {
                dp[row][column] = Math.max(dp[row - 1][column - 1] - 1, 0) / 2 + Math.max(dp[row - 1][column] - 1, 0) / 2;
            }
        }
        return Math.min(dp[query_row + 1][query_glass + 1], 1);
    }
}

4.2> 采用一维dp[]计算

class Solution {
    public double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double[] dp = new double[query_glass + 2]; // 第i层中每个glass的容量
        dp[0] = poured; // 第0层的第0个编号酒杯倾倒香槟容量
        int row = 0;
        while (row < query_row) { // 获取第query_row行，只需要遍历到第query_row减1行即可。
            for (int glass = Math.min(row, query_glass); glass >= 0; glass--) { 
                double overflow = Math.max(dp[glass] - 1, 0) / 2.0;
                dp[glass] = overflow; // 覆盖掉旧值
                dp[glass + 1] += overflow; // 由于是倒序遍历，所以对于dp[glass + 1]要执行“+=”操作
            }
            row++; // 计算下一行
        }
        return Math.min(dp[query_glass], 1); // 如果倾倒香槟容量大于1，则只返回1.
    }
}

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