本文从2014至2018年间各省自主命题的文科数学考卷中收录了48个立体几何大题。这批题难度不高，模型多样，比较适合立体几何的初学者练手。
第0组：多面体入门
本组收录3个题
2015年四川卷题18
18.（本小题满分 12 分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
（Ⅰ）请将字母 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）;
（Ⅱ）判断平面 与平面 的位置关系，并证明你的结论;
（Ⅲ）证明∶直线 平面 .
2016年文数上海卷题16
16.如图，在正方体 中，、 分别为 、 的中点，则下列直线中与直线 相交的是
（A）直线
（B）直线
（C）直线
（D）直线
2014年文数湖北卷题20
20.（本小题满分 13 分）
如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点. 求证：
（I）直线 平面 ;
（Ⅱ）直线 平面 .
第1组：四面体
本组收录9个题
2015年北京卷题18
（18）（本小题14 分）
如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 ， 的中点.
（I）求证： 平面 ;
（Ⅱ）求证：平面 平面 ;
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
2017年文数江苏卷题15
15.（本小题满分14 分）
如图，在三棱锥 中，，，平面 平面 ，点 （ 与 不重合）分别在棱 上，且 . 求证∶
（1） 平面 ;
（2）.
2017年文数北京卷题18
（18）（本小题14 分）
如图，在三棱锥 中，，，，， 为线段 的中点， 为线段 上一点.
（Ⅰ）求证∶;
（Ⅱ）求证∶平面 平面 ;
（Ⅲ）当 平面 时，求三棱锥 的体积.
2015年安徽卷题19
（19）（本小题满分13分）
如图，三棱锥 中，平面 ，，, , .
（Ⅰ）求三棱锥 的体积;
（Ⅱ）证明∶在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值.
2014年文数福建卷题19
19.（本小题满分12 分）
如图，三棱锥 中，平面 , .
（I）求证： 平面 ;
（Ⅱ）若 ， 为 中点，求 三棱锥 的体积.
2014年文数江苏卷题16
16.（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点. 已知 ，.
求证∶
（1）直线 平面 ;
（2）平面 平面 .
2018年文数天津卷题17
（17）（本小题满分 13分）
如图，在四面体 中， 是等边三角形，平面 平面 ，点 为棱 的中点，， ,
（I）求证∶;
（Ⅱ）求异面直线 与 所成角的余弦值;
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
2015年重庆卷题20
（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ，点 在线段 上，且 ，，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）若四棱锥 的体积为 ，求线段 的长.
2014年文数辽宁卷题19
（19）（本小题满分12 分）
如图， 和 所在平面互相垂直，且 , , 分别为 的中点.
（I）求证∶ 平面 ;
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
附∶锥体的体积公式 ，其中 为底面面积， 为高.
第2组：四棱锥
本组收录14个题
2015年湖北卷题20
20.（本小题满分 13 分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，点 是 的中点，连接 .
（I）证明∶平面 . 试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）; 若不是，请说明理由;
（Ⅱ）记阳马 的体积为 ，四面体 的体积为 ，求 的值，
2016年文数北京卷题18
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中，平面 ，, .
（I）求证∶ 平面 ;
（Ⅱ）求证：平面 平面 ;
（Ⅲ）设点 为 的中点.在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ? 说明理由.
2014年文数安徽卷题19
（19）（本小题满分 13 分）
如图，四棱锥 的底面是边长为 的正方形，四条侧棱长均为 . 点 分别是棱 上共面的四点，平面 平面 ，平面 .
（Ⅰ）证明∶;
（Ⅱ）若 ，求四边形 的面积
2014年文数天津卷题17
（17）（本小题满分13 分）
如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，，，， 分别
是棱 的中点.
（I）证明 平面 ;
（Ⅱ）若二面角 为 ，
①证明平面 平面 ;
②求直线 与平面 所成角的正弦值.
2017年文数天津卷题17
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 中，平面 ，, , .
（I）求异面直线 与 所成角的余弦值;
（Ⅱ）求证∶平面 ;
（Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
2018年文数北京卷题18
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ，，， 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证∶;
（Ⅱ）求证∶平面 平面 ;
（Ⅲ）求证∶ 平面 .
2014年文数山东卷题18
（18）（本小题满分12 分）
如图，四棱锥 中， 平面 ，，， 分别为线段
的中点.
（I）求证： 平面 ;
（Ⅱ）求证： 平面 .
2017年文数浙江卷题19
19.（本题满分 15分）
如图，已知四棱锥 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，，，, 为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
2015年广东卷题18
18.（本小题满分14 分）
如图3，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直，, .
（1）证明：平面 ;
（2）证明：;
（3）求点 到平面 的距离.
2014年文数重庆卷题20
（20）（本小题满分12分，（I）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如图，四棱锥 中，底面是以 为中心的菱形， 底面 , , ,
为 上一点，且 .
（Ⅰ）证明：平面 ;
（Ⅱ）若 ，求四棱锥 的体积.
2015年陕西卷题18
18.（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形 中，，，， 是 的中点， 是 与 的交点. 将 沿 折起到图2中 的位置，得到四棱锥 .
（Ⅰ）证明∶平面 ;
（Ⅱ）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值.
2014年文数浙江卷题20
20.（本题满分 15分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，, , , .
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正切值.
2016年文数四川卷题17
17.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 中，，，, .
（Ⅰ）在平面 内找一点 ，使得直线 平面 ，并说明理由;
（Ⅱ）证明∶平面 平面 .
2014年文数广东卷题18
18.（本小题满分13 分）
如图2，四边形 为矩形， 平面 ，，. 作如图3折叠; 折痕 ，其中点 分别在线段 上，沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ，并且 .
（1）证明∶ 平面 ;
（2）求三棱锥 的体积.
第3组：棱柱与棱台、六面体
本组收录10个题
2016年文数江苏卷题16
16.（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 中 分别为 的中点，点 在侧棱 上，且 ，.
求证∶
（1）直线 平面 ;
（2）平面 平面 .
2015年山东卷题18
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱台 中 ， 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ;
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 .
2015年江苏卷题16
16.（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 中，已知 ，. 设 的中点为 ，.求证∶
（1） 平面 ;
（2）.
2017年文数上海卷题17
17.（本题满分14 分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，直三棱柱 的底面为直角三角形，两直角边 和 的长分别为 和 ，侧棱 的长为 .
（1）求三棱柱 的体积;
（2）设 是 中点，求直线 与平面 所成角的大小.
2014年文数江西卷题19
19.（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 中，，.
（1）求证：;
（2）若 ，，，问 为何值时，三棱柱 体积最大，并求此最大值.
2014年文数四川卷题18
18.（本小题满分 12 分）
在如 图所示的多面体中，四边形 ，和 都为矩形.
（I）若 ，证明∶直线 平面 ;
（Ⅱ）设 分别是线段 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使直线 平面 ? 请证明你的结论.
2014年文数北京卷题17
（17）（本小题14 分）
如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面，，，， 分别是 ， 的中点.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ;
（Ⅱ）求证： 平面 ;
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
2015年浙江卷题18
18.（本题满分15分）
如图，在三棱柱 中，, , , 在底面 的射影为 的中点， 是 的中点.
（I）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）求直线 和平面 所成的角的正弦值.
2015年湖南卷题18
18.（本小题满分12 分）
如图4，直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形， 分别是 的中点.
（Ⅰ）证明：平面 平面 ;
（Ⅱ）若直线 与平面 所成的角为 ，求三棱锥 的体积.
2016年文数浙江卷题18
18.（本题满分15分）
如图，在三棱台 中，平面 平面 ， , , .
（I）求证： 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的余弦值.
第4组：体积
本组收录5个题
2018年文数江苏卷题10
10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
2015年全国卷A题6
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著、书中有如下 问题∶“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问∶积及为米几何?” 其意思为∶“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有
（A）14斛 （B）22 斛 （C）36 斛 （D）66 斛
2015年福建卷题20
20.（本小题满分12分）
如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点， 垂直于圆 所在的平面，且 .
（Ⅰ）若 为线段 的中点，求证∶平面 ;
（Ⅱ）求三棱锥 体积的最大值;
（Ⅲ）若 ，点 在线段 上，求 的最小值.
2015年上海卷题19
19.（本题满分 12 分）
如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，底面的一条直径为 ， 为半圆弧 的中点， 为劣弧 的中点已知. 求三棱锥 的体积，并求异面直线 与 所成的角的大小.
2016年文数上海卷题19
19.（本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分6 分.
将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图，弧 长为 ，弧 长为 ，其中 与 在平面 的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积;
（2）求异面直线 与 所成的角的大小.
第5组：其它
本组收录7个题
2014年文数湖南卷题18
18.（本小题满分 12 分）
如图3，已知二面角 的大小为 60°，菱形 在面 内，， 两点在棱 上， ， 是 的中点， 面 ，垂足为 .
（Ⅰ）证明∶平面 ;
（Ⅱ）求异面直线 与 所成角的余弦值.
2016年文数山东卷题18
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中， 是 的中点，.
（I）已知 . 求证∶;
（Ⅱ）已知 ， 分别是 和 的中点. 求证∶ 平面 .
2018年文数江苏卷题15
15.（本小题满分14 分）
在平行六面体 中，，.
求证∶
（1） 平面 ;
（2）平而 平面 .
2018年文数浙江卷题19
19.（本题满分 15 分）
如图，已知多而体 . 均垂直于平面 ，，，. .
（Ⅰ）证明：平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
2016年文数浙江卷题17
17.（本小题满分 14 分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 .，下部的形状是正四棱柱 ，（如图所示），并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4 倍
（1）若 ，则仓库的容积是多少?
（2）若正四棱雏的侧棱长为 ，则当 为多少时，仓库的容积最大?
2016年文数天津卷题17
（17）（本小题满分13 分）
如图，四边形 是平行四边形，平面 平面 , , , , ， 为 的中点.
（I）求证∶ 平面 ;
（Ⅱ）求证∶平面 平面 ;
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
2017年文数山东卷题18
（18）（本小题满分 12 分）
由四棱柱 截去三棱锥 后得到的几何体如图所示. 四边形 为正方形， 为 与 的交点， 为 的中点， 平面 .
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）设 是 的中点，证明∶平面 平面 .