MIT 线性代数 10.四个基本子空间 以及把矩阵当成一个向量

1.列空间

2.零空间

3.行空间

A的所有行的线性组合，即A的转置的列空间

4.的零空间

,有时我们也叫的左零空间

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列空间和零空间前面求的解已经提到过，其实不用继续做过多讲解
这里说一下行空间和零空间
还是以之前的矩阵例子

我们知道消元的过程可以用表达
这边我们直接写出（具体的过程自行计算）

由矩阵乘法的按行组合理解，可知矩阵的每一行，其实都是矩阵按矩阵的每一行的规则进行线性组合的，所以的行空间其实就是的行空间，而且，可以认为的行空间是的行空间的最简化的表达形式，
这里的的第一行和第二行可以认为是的行空间基，证据是什么呢，因为是由行变换E而来，那自然通过相应的E的逆变换组合得到

接下来说的零空间
零空间的定义是
两边取转置得到可以看到这种形式下未知数在的左边，所以的零空间也叫A的左零空间

我们用具体的矩阵来表示
于是可以写成

非常的巧合，的解，正是上面的E矩阵的第三行
即

也就是矩阵的第一行的倍加上第三行的倍，最后是第二行的倍，得到，这刚好对应的是消元过程中得到简化矩阵的某一行清零的步骤

所以这个特殊矩阵的零空间是一条直线
那么具体而言的零空间到底满足什么特殊规律呢
我们注意到，而自由行的个数是总行数，所以左零空间的维数也是，也就是为什么这个矩阵A的左零空间是一条直线的原因

从上面其实可以看出一点东西，

即行空间和左零空间，对应我们熟悉的列空间和零空间，其实就差一个转置的关系

把矩阵空间当成一个新的向量空间

只考虑矩阵之间的加减，以及数乘，不考虑矩阵之间的乘法，那么这样的矩阵之间构成一个向量空间