【数据结构和算法】--- 二叉树（3）--二叉树链式结构的实现（1）

一、二叉树的创建(伪)

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，且为了方便后面的介绍，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
基于二叉树的链式结构，于是可以先malloc动态开辟出二叉树的每个节点并初始化，然后通过节点中的指针struct BinaryTreeNode* left（指向左树）和struct BinaryTreeNode* right（指向右树），将各个节点连接起来，最后大致模拟出了一棵二叉树，代码如下：

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
    BTDataType data;
    struct BinaryTreeNode* left;  //左树
    struct BinaryTreeNode* right; //右树
}BTNode;
BTNode* CreatBinaryTree()
{
    //动态开辟节点
    BTNode* node1 = BuyNode(1);
    BTNode* node2 = BuyNode(2);
    BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
 	BTNode* node5 = BuyNode(5);
 	BTNode* node6 = BuyNode(6);
    //链接节点
 	node1->left = node2;
 	node1->right = node4;
 	node2->left = node3;
 	node4->left = node5;
 	node4->right = node6;
 	return node1;
}

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在实现二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

• 或者为空
• 由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

二叉树满足的条件：

• 二叉树不存在度大于2的结点；
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

其余二叉树的概念还请回顾：【数据结构和算法】—二叉树（1）–树概念及结构

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

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注意： 上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式将在后面介绍。

二、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。 访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。下图可以理解为是二叉树的前序遍历：

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。 NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

2.1 前序遍历

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。 依据此规律我们便可如下遍历二叉树，为了方便观察，每次遍历到根节点都输出一下：

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		putchar('N');
		return;
	}
	putchar(root->val);  //访问根节点
	BinaryTreePrevOrder(root->left);  //访问左子树
	BinaryTreePrevOrder(root->right);  //访问右子树
}

前序遍历代码，逻辑结构大致如下图，可以参考一下：

在这利用递归思想来解决前序遍历的问题，因为是前序遍历（访问顺序依次是根节点，左子树，右子树），所以在进入下层递归前可以先输出根节点。当进入左/右子树时，会更新根节点（原为上层根节点的左/右孩子节点） 。二叉树的叶子节点的左右孩子都为NULL，那么便可将递归的结束条件定为NULL。这便是前序遍历的递归逻辑。

2.2 中序遍历

中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。 与前序遍历相似，只是访问顺序不同（依次是左子树，根节点，右子树），那么调整一下代码顺序即可，将输出根节点值的操作(putchar(root->val);)，放在访问左子树之后。那么递归每次都会先进入左子树，且最先打印的为叶子节点。代码如下：

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		putchar('N');
		return;
	}
	BinaryTreeInOrder(root->left);  //访问左子树
	putchar(root->val);  //输出根节点
	BinaryTreeInOrder(root->right);  //访问右子树
}

2.3 后序遍历

后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。 同样与前序遍历相似，访问顺序不同（依次是左子树，右子树，根节点），依此特性所以我们只需将输出操作(putchar(root->val))放到最后，其余代码不变。实现思想-递归完左子树和右子树后再输出根节点。 代码如下：

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{

	if (root == NULL)
	{
		putchar('N');
		return;
	}
	BinaryTreePostOrder(root->left);  //访问左子树
	BinaryTreePostOrder(root->right);  //访问右子树
	putchar(root->val);  //输出根节点
}

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三种遍历最后输出的结果（图中N表示递归时遇到了NULL）：

• 前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
• 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
• 后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

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1. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为 ( D )。
   A adbce
   B decab
   C debac
   D abcde

解： 解题思想（给定两种遍历序列，求出另外一种）：我们可以根据各种遍历方法的特性来求解。( 1 ) 根据后续遍历序列找出根节点，因为后续遍历最后才会输出根，那么在序列的最后一个即为根节点a；( 2 ) 接着在中序遍历序列中找出根节点，然后划分左子树和右子树；( 3 ) 然后再到后序遍历序列中去除左子树和根节点，那么得到的便是右子树，并将其看为独立的树；( 4 ) 重复上述三步操作，直到排出完整的树。
图解如下：

解决此类问题最重要的还是要弄懂代码的递归思想。

三、二叉树节点个数及高度

3.1 二叉树节点个数

求二叉树的节点个数，利用的还是递归思想。我们可以将问题转化为----根节点(1)，左子树的节点个数(root->left)和右子树的节点个数(root->right)的总结点个数。我们可以将根节点为空(root == NULL)作为递归结束的条件，并返回0(return 0)。 这种方法通常被称为递归分治。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

代码图解：

3.2 二叉树叶子节点个数

叶子节点概念：含有的子树个数为0的节点。 如本次创建的二叉树的节点3，节点5，节点6。
基于叶子节点的特性，同样可以利用递归分治的方法，将问题同化为----左子树的叶子节点个数和右子树的叶子节点个数之和。

函数返回的条件：

• 当前节点(root)的左子树(root->left)和右子树(root->right)都为空时(即!(root->left && root->right))，那么此节点为叶子节点，并返回1；
• 当前节点为空节点(即(root == NULL))，返回0；
• 函数执行到最后，返回当前树的叶子节点数。

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (!(root->left && root->right))
		return 1;
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

代码图解：

3.3二叉树第k层节点个数

既然是求第k层的节点个数，那我们便可以定义一个变量k，记录当前函数所要递归的层数。既然k的值是变化的，那么可以将他作为函数的参数，每递归一层便让他减一k - 1，那么当k的值到1时，便是我们所要求的二叉树的第k层。

依据上述关系，便可以得出 函数返回的条件：

• 当遇到空节点时(root == NULL)，返回0；
• 当k == 1时（说明到了二叉树的第k层），且当前节点不为空(root != NULL)，那么便可返回1；
• 函数执行到了最后，返回统计到的符合条件的节点个数。

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	if (k == 1 && root != NULL)
		return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

根据函数返回条件不难发现，当k == 1时递归便不会继续往下层执行，这是因为此时函数必定会满足两个if条件中的一个，这也避免了递归到二叉树的第k + 1层。

代码图解：

3.4 二叉树查找值为x的节点

查找值为x的节点，可以将递归分治为----判断当前节点，判断左子树，判断右子树。 那么当遇到空节点(root == NULL)就返回return NULL；如果遇到所要查找的值(root->val == x)就返回当前地址(return root)；那么如果都不满足就继续搜寻左子树，然后右子树；直到最后搜寻完整棵二叉树，都没有找到x，那么便返回NULL。
还需要注意的一个问题是，如果在递归过程中找到了目标值x，返回了当前地址root，但是现在只是回到了上一层递归的地方，返回值并不会被接收，而是继续执行下一个逻辑。 那么我们便可以用BTNode* ret1来接受函数的返回值，并判断，当返回值(ret1)不为NULL时（即说明上一次递归时，找到了x）直接返回此值return ret1。

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
    //空节点
	if (root == NULL)
		return NULL;
	//值为x的节点
	if (root->val == x)
		return root;
	//左子树递归，ret接收返回值，并判断
	BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1 != NULL)
		return ret1;
	//方法一：易于理解
	//BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
	//if (ret2 != NULL)
	//	return ret2;
	return BinaryTreeFind(root->right, x);
	return NULL;
}

代码图解：

四、二叉树的创建(真)

通过上面对各种遍历方法和递归思想的讲解，相信使用递归来真正创建二叉树也不难了，如下：

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)
{
    //判断是否为空，即当a[*pi] == '#'时
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	//动态开辟节点
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc()::fail");
		exit(-1);
	}//赋值并连接（递归）
	node->val = a[*pi];
	(*pi)++;
	node->left = BinaryTreeCreate(a, pi);
	node->right = BinaryTreeCreate(a, pi);
	retur

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上面介绍的二叉树的一些函数的执行结果如下：

另外还有一些较为复杂的函数将在下一篇文章中介绍。